SymPy dsolve返回数学等价微分方程的不同结果

Question

以下是我的剧本内容：

from sympy import *
x = symbols('x')
init_printing(use_unicode=True)

f = symbols('f', cls=Function)
diffeq = Eq(x**2 * f(x).diff(x, x) + x * f(x).diff(x) - f(x) , 1/((1+x**2)**(3)) )
print dsolve(diffeq, f(x))

此程序返回以下输出：

^{pr2}$

但是当我像这样定义变量diffeq时：

diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) + f(x).diff(x)/x - f(x)/x**(2) , 1 / ((1+x**2)**(3) * x**(2)) )

然后我收到输出：

Traceback (most recent call last):
  File "/home/foo/odeSympyTrial01.py", line 12, in <module>
print dsolve(diffeq, f(x))
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/sympy/solvers/ode.py", line 625, in dsolve
    x0=x0, n=n, **kwargs)
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/sympy/solvers/deutils.py", line 235, in _desolve
    raise NotImplementedError(dummy + "solve" + ": Cannot solve " + str(eq))
NotImplementedError: solve: Cannot solve Derivative(f(x), x, x) + Derivative(f(x), x)/x - f(x)/x**2 - 1/(x**2*(x**2 + 1)**3)

当我像这样定义变量diffeq时：

diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) * x**(2) + f(x).diff(x) * x**(2) /x - f(x) * x**(2) /x**(2) , 1* x**(2)/((1+x**2)**(3) * x**(2)) )

然后我收到输出：

^{pr2}$

在每一种情况下，微分方程diffeq在数学上是相等的。因此，在我看来，dsolve()应该为每种情况返回相同的输出。有人请帮助我理解为什么dsolve()在第二种情况下返回错误。如何表达非齐次线性常微分方程以确保dsolve()不返回错误？在

Answer 1

简而言之：交响乐模块的逻辑通常是幼稚的，有时甚至是错误的。在

正如最初写的，用

x**2 * f(x).diff(x, x) + x * f(x).diff(x) - f(x)

{x的幂次也叫做^的幂次。SymPy检测到这种结构并应用适当的方法。但是如果你除以x**2

^{pr2}$

现在不是这样了：二阶导数没有x**2的幂，所以匹配失败。更仔细的检查可以在这里检测到潜在的Cauchy-Euler结构，但这并没有实现，我们可以通过查看source看到。在

你可以确认这确实是怎么回事

classify_ode(diffeq, f(x))

在第一种情况下，它将返回“第n个线性euler_eq_非齐次_变差”而不是第二种情况。在

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在看来源的同时，我们也可以看到一个错误逻辑的例子。在

        if coeff.is_Mul:
            if coeff.has(f(x)):
                return False
            return x**order in coeff.args

例如，x**2*sin(x)将通过顺序为2的检查，这意味着SymPy将把x**2*sin(x)*f(x).diff(x, x) - f(x) = 0错误地用于Euler方程。事实上

dsolve(x**2*sin(x)*f(x).diff(x, x) - f(x), f(x))

“解”错了方程。不要相信来自SymPy的颂歌解决方案。在