用numpy实现FFT归一化

Question

刚开始使用numpy包，并开始用一个简单的任务来计算输入信号的FFT。代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Some constants
L = 128
p = 2
X = 20
x = np.arange(-X/2,X/2,X/L)
fft_x = np.linspace(0,128,128, True)

fwhl = 1

fwhl_y = (2/fwhl) \
*(np.log([2])/np.pi)**0.5*np.e**(-(4*np.log([2]) \
*x**2)/fwhl**2)

fft_fwhl = np.fft.fft(fwhl_y, norm='ortho')

ampl_fft_fwhl = np.abs(fft_fwhl)

plt.bar(fft_x, ampl_fft_fwhl, width=.7, color='b')

plt.show()

因为我处理的是一个指数函数，在它之前用π除以某个常数，所以我希望在Fourier空间中得到指数函数，其中FFT的常数部分总是等于1（零频率）。 但是我使用numpy得到的组件的值更大（大约是1,13）。这里我有一个振幅谱，它被标准化为1/（计数的个数）**0.5（这是我在numpy文档中读到的）。我不明白怎么了。。。有人能帮我吗？

谢谢！

[编辑]问题似乎已经解决了，要得到傅里叶积分和FFT的相同结果，只需要将FFT乘以步长（在我的例子中是X/L）。至于作为numpy.fft.fft（…，norm=”ortho“）选项的规格化，它只用于保存变换的比例，否则需要将逆fft的结果除以采样数。谢谢大家的帮助！

Answer 1

我终于解决了我的问题。把FFT和Fourier积分结合起来，只需要把变换（FFT）的结果乘以步长（在我的例子中是X/L，FFTX/L），它就可以正常工作了。在我的例子中，这有点复杂，因为我有一个额外的规则来转换函数。我必须确保曲线下的面积等于1，因为它是δ函数的模型，所以由于步长是不可更改的，我必须满足stepsum（fwhl_y）=1条件，即X/L=1/sum（fwhl_y）。为了得到正确的结果，我必须做以下事情：

1. 计算FFTFFT fwhl=np.FFT.FFT（fwhl_y）
2. 为了去掉由于fwhl_y函数对称性而产生的相位分量，即在[-T/2，T/2]区间中定义的函数，其中T是周期，np.fft.fft运算认为我的函数是在[0，T]区间中定义的。所以为了只得到振幅谱（这是我需要的），我只需要使用np.abs（FFT）
3. 为了得到我期望的值，我应该将上一步得到的结果乘以X/L，即np.abs（FFT）*X/L
4. 我对曲线下的面积有一个附加条件，所以它是X/L*和（fwhlúy）=1并且我最终得到np.abs（FFT）*X/L=np.abs（FFT）/和（fwhlúy）

希望它至少能帮助任何人。

Answer 2

以下是解决您问题的可能方法：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import fft
from numpy import log, pi, e

# Signal setup
Fs = 150
Ts = 1.0 / Fs
t = np.arange(0, 1, Ts)
ff = 50
fwhl = 1
y = (2 / fwhl) * (log([2]) / pi)**0.5 * e**(-(4 * log([2]) * t**2) / fwhl**2)

# Plot original signal
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, y, 'k-')
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('amplitude')

# Normalized FFT
plt.subplot(2, 1, 2)
n = len(y)
k = np.arange(n)
T = n / Fs
frq = k / T
freq = frq[range(n / 2)]

Y = np.fft.fft(y) / n
Y = Y[range(n / 2)]

plt.plot(freq, abs(Y), 'r-')
plt.xlabel('freq (Hz)')
plt.ylabel('|Y(freq)|')

plt.show()

当fwhl=1时：

fwhl=0.1时：

在上图中可以看到，当fwhl接近0时，指数&FFT图是如何变化的