Python：概率密度函数数组的归一化累积分布函数

Question

对于连续变量x及其概率密度函数p（x），我有一个x值x的numpy数组和一个相应p（x）值p的numpy数组。p（x）未归一化，即在p（x）与x的曲线图中，图形下方的面积不是1。我想为累积分布函数cdf的值计算一个对应的数组。我现在就是这样做的，用梯形法则来近似积分：

p_norm = p/np.trapz(p,x)
cdf = np.array([np.trapz(p_norm[:n],x[:n]) for n in range(len(p_norm))])

结果并不完全准确；cdf的最终值接近1，但不完全是1

有没有更准确、更简单的方法来归一化p和查找cdf？我认为在某些模块中可能有特定的功能；也许是一个面向统计的模块，具有相关参数（方差、置信区间等）的函数

Answer 1

离散数据点的积分方法

变量x只有在具有连续函数形式时才是连续的。如果你有 很少有离散值（如果要创建一个离散值的numpy数组，就会出现这种情况），然后 阵列不再是连续的，因为它无法解析两个连续离散点之间的点 x的值

因此，假设您实际上有一个x和p的离散数据点数组，这里 这是我的建议

先熟悉一些数值积分的方法

• Newton-Cotes Formulas |代码：^{}

  这是一个通用规则，包括使用n点进行集成。如果我们将n点公式表示为：newton-cotes(n)，那么

  • Trapezoidal Rule：n = 2 |代码：^{}

  • Simpson's Rule：n = 3 |代码：^{}

  • Simpson's 3/8 Rule：n = 4

  • Boole's Rule：n = 5 |代码：有关想法，请参见this

• Weddle's Rule

• Hardy's Rule

一,。使用^{}进行集成

您可以使用“集成给定固定样本函数的方法”下列出的任何方法

洞察这里重要的是: interpolate使用straight line的连续两点之间的空间。如果可以的话 使用高阶多项式（阶数~2、3、4等），这样可以得到更好的计算结果 整合。辛普森规则使用二阶多项式Simpson's Rule - Wolfram MathWorld

^{tb1}$

^{来源：Wikipedia}

给定固定样本的函数积分方法

   trapezoid              "Use trapezoidal rule to compute integral."
   cumulative_trapezoid   "Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral."
   simps                  "Use Simpson's rule to compute integral from samples."
   romb                   "Use Romberg Integration to compute integral from
                           (2**k + 1) evenly-spaced samples."

🔥 另请参见此快速示例：Calculating the area under a curve given a set of coordinates, without knowing the function

二,。使用sklearn.metrics.auc

积分本质上是曲线下的面积（AUC）。Scikit学习库提供了一个简单的 计算AUC的替代方案。在实践中，这也使用了梯形规则，所以，我这样做 看不出有任何理由说明这与你已有的有什么不同 使用numpy.trapz

• 文档-^{}
• 示例：auc = sklearn.metrics.auc(x, y)

三,。考虑使用其他方法< /H2>

3.1。隆伯格积分

scipy.integrate.romb(y, dx=1.0, axis=- 1, show=False)

• 文件：^{}
• 隆伯格的方法是什么？
  • Wikipedia
  • Romberg积分背后的数学：PDF
  • YouTube视频：Numerical Integration - Romberg Integration - example

参考资料

• Boole's rule for N intervals (C)
• https://readthedocs.org/projects/mec-cs101-integrals/downloads/pdf/latest/