Python余弦函数精度

Question

从数学上我们知道，90度角的余弦值是0，但在Python中，它的值稍微大于0。

import math
math.cos(math.radians(90))
6.123233995736766e-17

那么，Python和数字“0”之间到底发生了什么呢？

Answer 1

正如Dietrich所指出的，内置的数学包使用的是数值近似来计算三角函数——比如说，π（圆周率）是通过浮点数来表示的，有一定的精度。不过，Python还有很多不错的包可以进行符号计算，比如Sympy，如果你想要更精确的计算，这个包很简单易用。

考虑一下：

import math
math.cos( 3*math.pi/2 )
# Outputs -1.8369701987210297e-16

与之相比

import sympy
sympy.cos( 3*sympy.pi/2 ) 
# Outputs 0

其实这种情况并不多，而且使用sympy的速度要慢得多。我测试过我的电脑在五秒钟内用math能计算多少次余弦，而用sympy则少得多，结果是math能计算38倍的次数。这要看你需要什么了。

Answer 2

跟我说：

计算机无法处理真实数字。

Python使用的是双精度IEEE浮点数，这种格式可以精确到53个二进制位，但它的数值范围是有限的。因为π/2是一个无理数，所以计算机会把它四舍五入到最接近的可以表示的数字（或者说是一个接近的可表示数字——有些操作的四舍五入是准确的，有些则会有超过1/2 ULP的误差）。

所以，你其实并没有让计算机计算cos(π/2)，你实际上是让它计算cos(π/2+ε)，这里的ε就是计算π/2时产生的舍入误差。然后结果还会再进行一次四舍五入。

为什么Excel（或其他程序）能显示正确的结果？

可能性1：这个程序进行的是符号计算，而不是数值计算。这种情况适用于像Mathematica和Maxima这样的程序，而不是Excel。

可能性2：这个程序可能在隐藏数据（最有可能）。Excel只会显示你要求的数字，比如：

>>> '%.10f' % math.cos(math.radians(90))
'0.0000000000'

Python有一个经过精细调校的函数，用于打印浮点数，以确保它们在文本和数字之间转换时不会丢失精度。这意味着Python默认打印的数字位数比例如printf要多。

可能性3：你使用的程序可能发生了两个舍入误差，结果相互抵消了。