Python稀疏矩阵逆和拉普拉斯计算

Question

我有两个稀疏矩阵，A（亲和力矩阵）和D（对角矩阵），它们的大小都是100000*100000。我需要计算拉普拉斯矩阵L，公式是L = D^(-1/2)*A*D^(-1/2)。我正在使用scipy的CSR格式来处理稀疏矩阵。

我没有找到任何方法来计算稀疏矩阵的逆。请问如何找到L和稀疏矩阵的逆？另外，使用Python来做这个计算效率高吗，还是说应该调用Matlab的函数来计算L呢？

Answer 1

一般来说，稀疏矩阵的逆矩阵并不是稀疏的，这就是为什么在线性代数的库里找不到稀疏矩阵的逆矩阵计算工具。因为D是对角矩阵，所以D^(-1/2)的计算很简单，因此拉普拉斯矩阵的计算也很容易写出来。L的稀疏结构和A是一样的，但每个值A_{ij}都乘上了(D_i*D_j)^{-1/2}。

关于逆矩阵的问题，通常的做法是避免直接计算逆矩阵。与其计算L的逆，不如反复求解Lx=b来找到未知数x。所有好的矩阵求解器都会允许你对L进行分解，这个过程比较耗时，但之后的回代过程（也就是用已知的结果去求解未知数）就比较简单，可以对每个b的值反复进行。