任意维度无限体的交集

Question

我需要一些代码、文本、谷歌关键词或者其他资源来实现这个类。速度不是重点，主要是它应该能适用于任意数量的维度。

class InfiniteVolume: # such as a point, line, plane, volume, 4d-volume
    def __init__(self, points): # two points for line, three points for plane, etc.
        self.points = points
        assert all(len(p)==len(points[0]) for p in points)

    def vdim(self): # Dimensions of the volume. For example 2.
        return len(self.points)-1

    def wdim(self): # Dimensions of the world.  For example 3.
        return len(self.points[0])

    def __contains__(self, point):
        # ???

    def intersect(self, other):
        assert self.wdim() == other.wdim()
        # ???

Answer 1

你想要表示一个N维空间，这个空间嵌套在一个M维空间里。举个例子，当N=2，M=3时，这就相当于在一个三维的“世界”里有一个平面。

你可以定义一组点来表示这个空间，但更自然的方式是用一组线性方程或者基向量来表示，所以这应该是你实现的基础。如果你使用基向量，那么会有N个。如果你使用方程，每个方程会减少一个维度，所以会有M-N个方程。

要找到两个这样的子空间的交集，你只需把它们的集合结合起来，然后简化（得到一组线性无关的向量或方程）。交集的维度可以是从零到N的任何值。

这些技巧很简单，也很常见，属于线性代数的范畴。

编辑：
我觉得处理基向量是最简单的。

1. 用这些点来获取基向量。
2. 用基向量找到正交空间的基向量（比如如果这个空间是一条二维的线，正交空间就是一条垂直的线；如果是三维的线，正交空间就是与这条线垂直的一个平面；如果是三维的平面，正交空间就是与这个平面垂直的一条线）。
3. 如果你愿意，从正交空间的向量中得到这个空间的方程是很简单的。
4. 要得到两个空间的交集，先把它们的基结合起来，然后简化为一个基。找到一个共同点，你就完成了。