检查正定性或半正定性

Question

我想用Python检查一个矩阵是否是正定矩阵或者正半定矩阵。

我该怎么做呢？在SciPy或者其他模块里有没有专门的函数可以用来做这个？

Answer 1

如果你在处理正定矩阵时，Cholesky分解是个不错的选择。

但是，当你遇到正半定矩阵时，它会报错，比如：

A = np.zeros((3,3)) // the all-zero matrix is a PSD matrix
np.linalg.cholesky(A)
LinAlgError: Matrix is not positive definite -
Cholesky decomposition cannot be computed

对于正半定矩阵，你可以使用scipy或numpy的eigh()函数来检查所有特征值是否都是非负的。

>> E,V = scipy.linalg.eigh(np.zeros((3,3)))
>> E
array([ 0.,  0.,  0.])

不过，你很可能会遇到数值稳定性的问题。为了克服这些问题，你可以使用以下函数。

def isPSD(A, tol=1e-8):
  E = np.linalg.eigvalsh(A)
  return np.all(E > -tol)

这个函数会在矩阵大致上是正半定的情况下返回True，具体取决于你设定的容忍度。

Answer 2

我假设你已经知道你的矩阵是对称的。

判断一个矩阵是否是正定的一个好方法（其实是标准方法！）就是尝试计算它的Cholesky分解。如果这个分解成功了，那么说明你的矩阵是正定的。

这个方法是最直接的，因为它需要的计算量是O(n^3)（加上一个小常数），而且你至少需要进行n次矩阵和向量的乘法才能“直接”测试。

Answer 3

一个好的解决办法是计算所有的子式行列式，并检查它们是否都是非负的。

检查正定性或半正定性

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