如何在3D球体上绘制球面三角形？

Question

假设你知道一个球面三角形的三个顶点。那你该如何在3D球体上画出它的边呢？

我需要一些Python代码，用于Blender这个3D建模软件。

我已经在Blender里做好了球体。

谢谢，祝你在Blender上玩得开心。

备注 1：

我在球面上有三个点/顶点（p1, p2, p3），这是一个球面三角形，但我需要在3D球体上画出边。

那么，应该用什么公式来确定三角形每对点之间的所有顶点呢？从p1到p2、从p2到p3，以及从p3到p1这三条边。

我知道这和球面上的大圆（Great circle）有关，但我找不到合适的公式来进行球坐标的计算！

谢谢。

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大圆

如果能看到用大圆的解决方案，并直接在球坐标中展示，那会很有趣！

不过在欧几里得空间中做也是很有意思的。

谢谢。

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好的，我用这个想法在两个点之间画线段。

但没有按照之前提到的方法去做。

我用了另一种方法——贝塞尔线插值。

我用贝塞尔线来参数化这条线，然后进行了细分，并计算了之前提到的每个细分贝塞尔点的比例和角度，效果很好且非常精确。

但我还是想看看用之前的方法是怎么做的，只是不确定如何进行迭代循环？

你是怎么把Python代码放到这里的？直接用Ctrl-V粘贴吗？

谢谢，祝你在2.5版本中玩得开心。

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我确实在使用Blender的论坛，但并不能保证每次都能得到清晰的答案！

这就是我在这里试试的原因——碰碰运气。

我做了第一条边，似乎有效，现在得做一个循环来获取第一条边的多个段，然后再做其他边。

2- 另一个话题，我在这里开了一个关于贝塞尔三角形补丁的帖子。我知道这不是一个有用的工具，但只是想展示一下怎么做。

你见过用Python脚本做这些三角形补丁吗？我在Blender的论坛上问过这个问题，但没有得到答案。还有在IRC的Python频道，现在似乎也没什么人，可能大家都忙着完成2.5 Beta版本，应该在一两周内发布。

嘿，非常感谢你参与这个数学讨论，如果我有问题明天再来。

祝你数学愉快，2.5版本也玩得开心。

Answer 1

一个简单又便宜的方法是先画出三角形，然后把三角形的面分割成你想要的细节程度。接着，把所有的顶点调整到你想要的半径大小。

Answer 2

创建正弦网格

下面是用Python代码在Blender中创建正弦波网格的方法：

import math
import Blender
from Blender import NMesh

x = -1 * math.pi

mesh = NMesh.GetRaw()
vNew = NMesh.Vert( x, math.sin( x ), 0 )
mesh.verts.append( vNew )

while x < math.pi:
 x += 0.1
 vOld = vNew
 vNew = NMesh.Vert( x, math.sin( x ), 0 )
 mesh.verts.append( vNew )
 mesh.addEdge( vOld, vNew )

NMesh.PutRaw( mesh, "SineWave", 1 )
Blender.Redraw()

代码的详细解释可以在这里找到：http://davidjarvis.ca/blender/tutorial-04.shtml

绘制边缘的算法

画一段线和画三段线是一样的，所以我们可以把问题重新表述为：

给定两个端点，如何在球面上画一个弧？

换句话说，就是在球面上画出以下两个点之间的弧：

• P₁ = (x₁, y₁, z₁)
• P₂ = (x₂, y₂, z₂)

解决这个问题的方法是沿着弧 P₁P₂ 画出很多中间点，步骤如下：

1. 计算球的半径：

   R = sqrt( x12 + y12 + z12 )
   

2. 计算 P₁ 和 P₂ 之间线段的中点 (_m)：

   Pm = (xm, ym, zm)
   xm = (x1 + x2) / 2
   ym = (y1 + y2) / 2
   zm = (z1 + z2) / 2

3. 计算 P₁ 和 P₂ 之间线段到中点的长度：

   Lm = sqrt( xm2, ym2, zm2 )

4. 计算球的半径与中点长度的比值：

   k = R / Lm

5. 计算沿弧的中点：

   Am = k * Pm = (k * xm, k * ym, k * zm)

对于 P₁ 到 P₂，创建两条边：

• P₁ 到 A_m
• A_m 到 P₂

这两条边会穿过球体。为了解决这个问题，需要计算 P₁A_m 和 A_mP₂ 之间的中点。中点越多，线段就越能贴合球面的形状。

由于Blender在计算上非常精确，最终得到的弧可能会被球体（渐近地）隐藏起来。一旦创建了三角形网格，可以将其稍微移离球体几单位（比如0.01）。

使用样条曲线

另一种解决方案是根据以下内容创建一个样条曲线：

• 球的半径（如上所述计算）
• P₁
• A_m
• P₂

生成的样条曲线必须移动到球体的前面。

Blender艺术家论坛

Blender专家也会有很好的想法来解决这个问题，可以试着问问他们。

另见

http://www.mathnews.uwaterloo.ca/Issues/mn11106/DotProduct.php

http://cr4.globalspec.com/thread/27311/Urgent-Midpoint-of-Arc-formula