用python编写的三维电磁fdtd模拟器
fdtd的Python项目详细描述
python三维fdtd模拟器
用python编写的三维电磁fdtd模拟器。FDTD模拟器具有 可选Pythorch后端，在GPU上启用FDTD模拟。
注意：该库正在建设中。只实现了一些最小的特性 API可能会发生很大变化。
安装
fdtd-库可以用pip安装：
pip install fdtd
可以通过克隆存储库来安装开发版本
git clone http://github.com/flaport/fdtd
并将其与pip链接
pip install -e fdtd
依赖关系
- 巨蟒3.6+
- 努比
- matplotlib
- 全面质量管理
- Pythorch（可选）
贡献
图书馆仍处于发展的早期阶段，但所有的改进 或添加（例如新对象、源或检测器）是受欢迎的。 请提出拉取请求。
库简介
进口
fdtd库简单地导入如下：
importfdtd
设置后端
fdtd库允许选择后端。后端是 默认为一个，但也有几个额外的pytorch后端：
"numpy"（默认为float64数组）"torch"（默认为float64张量）"torch.float32""torch.float64""torch.cuda"（默认为float64张量）"torch.cuda.float32""torch.cuda.float64"
例如，这是如何选择"torch"后端：
fdtd.set_backend("torch")
一般来说，对于标准的CPU计算，首选使用"numpy"后端
具有"float64"精度。通常，精度总是
然而，对于fdtd模拟来说，优先于"float32"，但是，"float32"可能
显著提高性能。
"CUDA"后端仅适用于带有GPU的计算机。
FDTD网格
FDTD网格定义了模拟区域。
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)
网格是由其形状定义的，它只是数字类型的3d元组
（整数或浮点数）。如果形状是浮点数，它表示宽度，
网格的高度和长度（以米为单位）。如果形状是整数，那么
表示网格的宽度、高度和长度
网格间距。在内部，这些数字将转换为三个整数：
grid.nx，grid.ny和grid.nz
可以给出网格间距。出于稳定性考虑，建议
选择至少比最小值小10倍的网格间距
网格中的波长。这意味着对于包含
波长1550nm和折射率3.1的材料，
建议的最小网格间距为50pm
对于介电常数和磁导率 形状
（grid.nx，grid.ny，grid.nz）- 或
（grid.nx，grid.ny，grid.nz，1） - 或
（grid.nx，grid.ny，grid.nz，3）
是应该的。在最后一种情况下，形状意味着
每个主轴的介电常数（所谓的单轴或双轴
材料）。在内部，这些变量将被转换（为了性能
原因）它们的逆网格。介电常数逆数组和
网格.反渗透性形状数组（grid.nx，grid.ny，grid.nz，3）。它
可以在生成网格后更改这些数组。
最后，网格的courant_数决定了
模拟的时间步以及网格的网格间距。如果不给，
它被选为courant friedrichs lewy允许的最大数目
条件：
1用于1d模拟，1/√2用于2d模拟，1/√3用于3d
模拟（维度将由网格的形状导出）。为了
出于稳定性原因，建议不要更改此值。
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)
Grid(shape=(161,97,1), grid_spacing=1.55e-07, courant_number=0.70)
将对象添加到网格
另一个选项是在
网格是将对象添加到网格中。
# signaturefdtd.Object(permittivity:Tensorlike,name:str=None)
对象使用修改后的更新公式定义网格的一部分，允许
引入例如吸收材料或双轴材料
轴之间的混合通过pockels系数或许多
更多。在这种情况下，我们将创建一个不同于
它所在的网格。
就像对于网格一样，对象期望介电常数是浮点数或
下列可能形状的数组
（obj.nx，obj.ny，obj.nz）- 或
（obj.nx，obj.ny，obj.nz，1） - 或
（obj.nx，obj.ny，obj.nz，3）
请注意，值obj.nx，obj.ny和obj.nz没有给
对象构造函数。它们是从网格中的位置派生出来的：
pip install fdtd
这里发生了几件事。首先，物体被赋予空间
网格中的[11:32，30:84，0]。因为给了这个空间，物体
nx，ny和nz自动设置。此外，通过提供
对象，此名称将在网格中可用：
pip install fdtd
pip install fdtd
第二个对象可以添加到网格：
pip install fdtd
这里，选择了一个带浮点数的切片。这些漂浮物
在对象注册过程中替换为整数nx，ny和nz。
由于对象没有收到名称，因此该对象将不能作为
网格的属性。但是，它仍然可以通过网格.objects获得
清单：
pip install fdtd
pip install fdtd
此列表按以下顺序存储所有对象（即fdtd.object类型）
它们被添加到网格中。
将源添加到网格
与向网格中添加对象类似，fdtd.linesource也可以是 新增：
pip install fdtd
而且就像fdtd.objectfdtd.sourcesize一样，fdtd.source的大小由它的
网格上的位置：
pip install fdtd
但是，需要注意的是，在这种情况下，会将linesource添加到
网格，即源跨越由切片定义的立方体的对角线。
在内部，这些切片将转换为列表，以确保此行为：
pip install fdtd
pip install fdtd
注意，还可以提供列表来索引第一个网格 地点。此功能可用于创建任意 形状：
在网格中添加检测器
git clone http://github.com/flaport/fdtd
向网格中添加检测器的工作原理与添加源相同
git clone http://github.com/flaport/fdtd
git clone http://github.com/flaport/fdtd
git clone http://github.com/flaport/fdtd
添加网格边界
git clone http://github.com/flaport/fdtd
不过，原则上有一个对象、源和探测器来模拟
足够进行fdtd模拟，还需要定义网格边界。
以防止字段被反射。其中一个界限可以是
网格中添加了一个完全匹配的层
层或pml。这些
基本上是吸收边界。
git clone http://github.com/flaport/fdtd
网格摘要
可以通过打印ou来显示网格的简单摘要t网格：
git clone http://github.com/flaport/fdtd
git clone http://github.com/flaport/fdtd
运行模拟
运行模拟就像使用grid.run方法一样简单。
git clone http://github.com/flaport/fdtd
与网格中的长度一样，模拟的总时间。
可以指定为整数（时间步数）或浮点（in
秒）。
git clone http://github.com/flaport/fdtd
网格可视化
让我们想象一下网格。这可以通过网格来完成。visualize方法：
pip install -e fdtd
默认情况下，此方法将可视化网格中的所有对象，以及
在当前时间步的某个x，y或z-平面上通电。通过
设置show=false，可以禁用
matplotlib图像。
pip install -e fdtd
背景
尽快解释麦克斯韦方程的fdtd离散化。
更新公式
电磁fdtd求解器求解含时maxwell方程组
pip install -e fdtd
这两个方程分别称为安培定律和法拉第定律。
在这些方程中，ε和μ是相对介电常数和磁导率张量
分别是。ε0和μ0是真空介电常数和磁导率
平方根可以分别被吸收到e和h中，使得e：=√ε0*e
以及h：=√μ0*h
这样，麦克斯韦方程可以写成更新方程：
pip install -e fdtd
电场和磁场可以在网格上离散 交错的yee坐标，在3d中如下所示：
根据yee离散化算法，本质上有两种类型
网格上的字段数：e-键入整数网格位置上的字段和h-键入
半整数网格位置上的字段。
这些交错坐标的美妙之处在于它们使 电场和磁场旋度的书写方法：旋度 h-type字段将是e-type字段，反之亦然。
这样，e的旋度可以写成
pip install -e fdtd
这可以用数组切片高效地编写（注意
（1/du）被省略：
pip install -e fdtd
h的旋度可以用类似的方法获得（再次注意
（1/du）被省略：
pip install -e fdtd
更新公式现在可以重写为
pip install -e fdtd
数字（c*dt/du）是一个无量纲参数，称为courant数。为了
稳定性原因，courant数应始终小于1/√d，且d
模拟的维度。这可以直观地理解为
这些信息在网格中的传播速度应该总是比光速慢。
在这里描述的fdtd方法中，信息只能传递到相邻的网格。
细胞（通过卷曲的应用）。因此，需要d时间步才能
在ad维度立方体的对角线上移动（在2d中为正方形，在3d中为立方体），然后
然后，courant条件自动从以下事实开始
对角线是1/√d
这将得到fdtd算法的最终更新方程：
pip install -e fdtd
这也是它的实现方式：
pip install -e fdtd
来源
安培定律可以更新为包含电流密度：
importfdtd0
再次进行通常的替换sc:=c*dt/du，e：=√ε0*e和h：=√μ0*h，则
可以修改更新公式以包含current密度：
importfdtd1
进行最后一次替换es:=-dt*inv（ε）*j/√ε0允许我们将其写入
非常干净的方式：
importfdtd2
其中，es定义为电场源项。
通常还可以定义磁场源项 由磁电流密度导出。以同样的方式， 法拉第的更新方程可以重写为
importfdtd3
importfdtd4
有损介质
当材料具有电导率σe时，传导电流将确保介质是有损耗的。带传导电流的安培定律变为
importfdtd5
进行通常的替换，这将变为：
importfdtd6
这个更新方程依赖于半整数时间步上的电场（a磁场时间步）。我们需要做一个替换，将电场插值到这个时间步：
importfdtd7
其中，在替换后σ：=inv（ε）*σe/ε0产生新的更新方程：
importfdtd8
如果我们想跟踪吸收的能量：
请注意，介电常数张量ε越复杂，则 算法将是。因此，有时通过引入（非物理）磁导率将吸收转移到磁畴是正确的决定，因为 渗透张量μ通常等于1。
代换后，得到磁场更新方程：
importfdtd9
能量密度和poynting矢量
电磁能量密度可由
fdtd.set_backend("torch")0
在进行上述替换时，这将变为模拟单位：
fdtd.set_backend("torch")1
poynting向量由
fdtd.set_backend("torch")2
在模拟单元中变成
fdtd.set_backend("torch")3
源es引入的能量可以通过跟踪能量密度的变化来获得
fdtd.set_backend("torch")4
这也可以从poyntings能量守恒定律中得到：
fdtd.set_backend("torch")5
其中第一项只描述能量在体积中的再分配，第二项描述能量在体积中的再分配。 电流密度产生的能量。
注：虽然它是非物理的，但也可以引入磁源。这个能量源将引入以下能量：
fdtd.set_backend("torch")6
由于μ张量通常等于1，使用磁源项通常更有效。
类似地，还可以通过以下方式跟踪导电性引起的吸收能量：
fdtd.set_backend("torch")7
或者，如果我们想跟踪磁性吸收的能量，磁传导率：
fdtd.set_backend("torch")8
能量密度中的电项和磁项通常大小相同。因此，通过引入a磁导率σm，可以吸收相同数量的能量 如果：
fdtd.set_backend("torch")9
边界条件
周期边界条件
假设我们想要沿x方向的周期性边界条件，那么我们必须
确保xlow和xhigh处的字段相同。必须强制执行
执行更新公式后：
请注意，电场e取决于旋度h，这意味着
e的第一个索引将不会通过更新公式进行更新。
这些指标需要通过周期边界条件来设定。
具体来说：e[0]需要设置为等于e[-1]。对于磁场，
逆是真的：h依赖于curl，这意味着它的最后一个索引
不会被设置。这必须通过边界条件来实现：h[-1]需要
设为h[0]：
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)0
完全匹配的层
完全匹配的层（pml）是 在fdtd网格中引入吸收边界条件。 PML是电网中阻抗匹配的吸收区域。结果发现 为了保持阻抗匹配条件，PML只能在 一个单一的方向。这就是为什么PML实际上是一种非物理材料。
考虑ez组件的安培定律，其中通常的替换
e：=√ε0*e，h：=√μ0*h和σ：=inv（ε）*σe/ε0是
已经介绍：
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)1
这在频域中变为：
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)2
我们可以把这个方程分为x传播波和y传播波：
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)3
我们可以如下定义s-运算符
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)4
一般来说，我们倾向于将稳定因子au和比例因子ku添加到su：
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)5
将ez的两个方程除以相应的s-运算符后求和
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)6
将其转换回时间域可获得
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)7
其中，sx表示（1/sx）的逆傅里叶变换，[*]表示卷积。
su的表达式[经过一些推导]可以证明如下：
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)8
式中，δ（t）表示狄拉克δ函数，c（t）指数
衰减函数由：
# signaturefdtd.Grid(shape:Tuple[Number,Number,Number],grid_spacing:float=155e-9,permittivity:float=1.0,permeability:float=1.0,courant_number:float=None,)9
插入此选项将得到：
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)0
这可以写成一个更新公式：
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)1
其中我们将Фeu定义为
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)2
并取v方向上hw的导数，作为更新分量eu的卷积：
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)3
这可以重写[经过一些推导]作为更新方程本身：
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)4
其中，常数bu和cu导出为：
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)5
电场的最终pml算法现在变成：
- 通过使用
Ψ-组件的更新方程，更新Фe=[Фex，Фey，Фez]。 - 以正常方式更新电场
- 将
Фe加到电场中。 < > >
或者作为python代码：
grid=fdtd.Grid(shape=(25e-6,15e-6,1),# 25um x 15um x 1 (grid_spacing) --> 2D FDTD)print(grid)6
同样的方法也适用于磁场。
PML的这些更新公式基于Schneider，第11章 ？Floris Laporte-麻省理工学院许可证 欢迎加入QQ群-->： 979659372
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