Python特征向量：numpy.linalg、scipy.linalg和scipy.sparse.linalg之间的差异

Question

Scipy和Numpy之间有三个不同的函数，用于查找给定平方矩阵的特征向量，它们是：

1. ^{}
2. ^{}，和
3. ^{}

特别是在以下情况下，我在最后两个参数中省略的所有可选参数都保留为默认值，a/A是真正有价值的，我很好奇这三个参数之间的差异，这些差异在文档中是不明确的，特别是：

• 为什么（3）有一个注释，它不能找到所有的特征向量？
• 为什么必须另外两个计算所有解-为什么他们不接受一个k参数？
• （1） 注意，特征值不按特定顺序返回；（3）有一个可选参数来控制顺序。（2）对此有什么保证吗？
• （3）假设A是稀疏的吗？（从数学上讲，不是用稀疏矩阵来表示）如果这个假设不成立，它会不会效率低下，甚至给出错误的结果？
• 在这些选择中，我还需要考虑其他因素吗？

Answer 1

以下是您问题中非常规特定部分的答案：

原则上，NumPy和SciPylinalg()例程应该相同。两者都在内部使用LAPACK和BLAS例程。“scipy.sparse”中的实现使用了一种特定的算法，该算法对稀疏矩阵（即大多数为零项的矩阵）非常有效。如果矩阵是稠密的，不要使用这个。

注意，从技术上讲，SciPy/NumPy中的eig()是不同的实现，因为这两个包都可以用Lapack/BLAS的不同实现来构建。这里常见的选择是netlib、ATLAS、Intel MKL或OpenBLAS提供的标准Lapack/BLAS。

Answer 2

第三个的特殊行为与Lanczos algorithm有关，它在稀疏矩阵中非常有效。scipy.sparse.linalg.eig的文档说，它使用ARPACK的包装器，ARPACK反过来使用“隐式重新启动的Arnoldi方法（IRAM），或者在对称矩阵的情况下，使用Lanczos算法的相应变体。”(1)。

现在，Lanczos算法有一个特性，它可以更好地处理大特征值（实际上，它使用最大特征值）：

In practice, this simple algorithm does not work very well for computing very many of the eigenvectors because any round-off error will tend to introduce slight components of the more significant eigenvectors back into the computation, degrading the accuracy of the computation. (2)

所以，虽然Lanczos算法只是一个近似值，但我猜其他两种方法使用算法来找到精确的特征值——而且看起来它们都是，这可能也取决于使用的算法。