Python中曲面曲率的Matlab等价

Question

我试图计算一个由点数组（x，y，z）给出的曲面的曲率。最初我试图拟合一个多项式方程z=a+bx+cx^2+dy+exy+fy^2） 然后计算高斯曲率

$ K = \frac{F_{xx}\cdot F_{yy}-{F_{xy}}^2}{(1+{F_x}^2+{F_y}^2)^2} $

但是，如果曲面是复杂的，则问题是拟合的。我找到了这个Matlab程序来数值计算曲率。我想知道如何在Python中做同样的事情。

function [K,H,Pmax,Pmin] = surfature(X,Y,Z),
% SURFATURE -  COMPUTE GAUSSIAN AND MEAN CURVATURES OF A SURFACE
%   [K,H] = SURFATURE(X,Y,Z), WHERE X,Y,Z ARE 2D ARRAYS OF POINTS ON THE
%   SURFACE.  K AND H ARE THE GAUSSIAN AND MEAN CURVATURES, RESPECTIVELY.
%   SURFATURE RETURNS 2 ADDITIONAL ARGUEMENTS,
%   [K,H,Pmax,Pmin] = SURFATURE(...), WHERE Pmax AND Pmin ARE THE MINIMUM
%   AND MAXIMUM CURVATURES AT EACH POINT, RESPECTIVELY.


% First Derivatives
[Xu,Xv] = gradient(X);
[Yu,Yv] = gradient(Y);
[Zu,Zv] = gradient(Z);

% Second Derivatives
[Xuu,Xuv] = gradient(Xu);
[Yuu,Yuv] = gradient(Yu);
[Zuu,Zuv] = gradient(Zu);

[Xuv,Xvv] = gradient(Xv);
[Yuv,Yvv] = gradient(Yv);
[Zuv,Zvv] = gradient(Zv);

% Reshape 2D Arrays into Vectors
Xu = Xu(:);   Yu = Yu(:);   Zu = Zu(:); 
Xv = Xv(:);   Yv = Yv(:);   Zv = Zv(:); 
Xuu = Xuu(:); Yuu = Yuu(:); Zuu = Zuu(:); 
Xuv = Xuv(:); Yuv = Yuv(:); Zuv = Zuv(:); 
Xvv = Xvv(:); Yvv = Yvv(:); Zvv = Zvv(:); 

Xu          =   [Xu Yu Zu];
Xv          =   [Xv Yv Zv];
Xuu         =   [Xuu Yuu Zuu];
Xuv         =   [Xuv Yuv Zuv];
Xvv         =   [Xvv Yvv Zvv];

% First fundamental Coeffecients of the surface (E,F,G)
E           =   dot(Xu,Xu,2);
F           =   dot(Xu,Xv,2);
G           =   dot(Xv,Xv,2);

m           =   cross(Xu,Xv,2);
p           =   sqrt(dot(m,m,2));
n           =   m./[p p p]; 

% Second fundamental Coeffecients of the surface (L,M,N)
L           =   dot(Xuu,n,2);
M           =   dot(Xuv,n,2);
N           =   dot(Xvv,n,2);

[s,t] = size(Z);

% Gaussian Curvature
K = (L.*N - M.^2)./(E.*G - F.^2);
K = reshape(K,s,t);

% Mean Curvature
H = (E.*N + G.*L - 2.*F.*M)./(2*(E.*G - F.^2));
H = reshape(H,s,t);

% Principal Curvatures
Pmax = H + sqrt(H.^2 - K);
Pmin = H - sqrt(H.^2 - K);

Answer 1

我希望我在这里不会太晚。我处理的问题完全相同（我工作的公司的产品）。

首先必须考虑的是，这些点必须表示矩形网格。X是二维数组，Y是二维数组，Z是二维数组。如果您有一个非结构化的浊点，只有一个矩阵形状的Nx3（第一列是X，第二列是Y，第三列是Z），那么您不能应用这个matlab函数。

我已经开发了一个与这个Matlab脚本相当的Python，在这里我只计算Z矩阵的平均曲率（我想你可以从这个脚本中得到灵感，并调整它以获得你想要的所有曲率），忽略X和Y，假设网格是正方形的。我认为你可以“理解”我在做什么和如何做，并根据你的需要调整它：

def mean_curvature(Z):
    Zy, Zx  = numpy.gradient(Z)
    Zxy, Zxx = numpy.gradient(Zx)
    Zyy, _ = numpy.gradient(Zy)

    H = (Zx**2 + 1)*Zyy - 2*Zx*Zy*Zxy + (Zy**2 + 1)*Zxx
    H = -H/(2*(Zx**2 + Zy**2 + 1)**(1.5))

    return

Answer 2

如果其他人偶然发现这个问题，为了完整性，我提供了以下代码，灵感来自heltonbiker。

下面是一些python代码，用于计算高斯曲率，如“使用几何固有权重计算距离图像的表面曲率”中的方程式（3）所述*，T.Kurita和p.Boulanger，1992。

import numpy as np

def gaussian_curvature(Z):
    Zy, Zx = np.gradient(Z)                                                     
    Zxy, Zxx = np.gradient(Zx)                                                  
    Zyy, _ = np.gradient(Zy)                                                    
    K = (Zxx * Zyy - (Zxy ** 2)) /  (1 + (Zx ** 2) + (Zy **2)) ** 2             
    return K

注：

1. heltonbiker方法本质上是本文的方程（4）
2. heltonbiker的方法在维基百科的“三维空间中的曲面，平均曲率”中也是一样的： http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_curvature）
3. 如果同时需要K和H，那么在heltonbiker代码中包含“K”（高斯曲率）的计算，并返回K和H。节省了一点处理时间。
4. 我假设曲面被定义为两个坐标的函数，例如z=z（x，y）。在我的例子中，Z是一个范围图像。

Answer 3

虽然很晚了，但是没有什么坏处。我修改了“surference”函数以用于Python。 免责声明：我不是原始代码的作者。信用卡到期的地方。

def surfature(X,Y,Z):
    # where X, Y, Z matrices have a shape (lr+1,lb+1)

    #First Derivatives
    Xv,Xu=np.gradient(X)
    Yv,Yu=np.gradient(Y)
    Zv,Zu=np.gradient(Z)

    #Second Derivatives
    Xuv,Xuu=np.gradient(Xu)
    Yuv,Yuu=np.gradient(Yu)
    Zuv,Zuu=np.gradient(Zu)   

    Xvv,Xuv=np.gradient(Xv)
    Yvv,Yuv=np.gradient(Yv)
    Zvv,Zuv=np.gradient(Zv) 

    #Reshape to 1D vectors
    nrow=(lr+1)*(lb+1) #total number of rows after reshaping
    Xu=Xu.reshape(nrow,1)
    Yu=Yu.reshape(nrow,1)
    Zu=Zu.reshape(nrow,1)
    Xv=Xv.reshape(nrow,1)
    Yv=Yv.reshape(nrow,1)
    Zv=Zv.reshape(nrow,1)
    Xuu=Xuu.reshape(nrow,1)
    Yuu=Yuu.reshape(nrow,1)
    Zuu=Zuu.reshape(nrow,1)
    Xuv=Xuv.reshape(nrow,1)
    Yuv=Yuv.reshape(nrow,1)
    Zuv=Zuv.reshape(nrow,1)
    Xvv=Xvv.reshape(nrow,1)
    Yvv=Yvv.reshape(nrow,1)
    Zvv=Zvv.reshape(nrow,1)

    Xu=np.c_[Xu, Yu, Zu]
    Xv=np.c_[Xv, Yv, Zv]
    Xuu=np.c_[Xuu, Yuu, Zuu]
    Xuv=np.c_[Xuv, Yuv, Zuv]
    Xvv=np.c_[Xvv, Yvv, Zvv]

    #% First fundamental Coeffecients of the surface (E,F,G)
    E=np.einsum('ij,ij->i', Xu, Xu) 
    F=np.einsum('ij,ij->i', Xu, Xv) 
    G=np.einsum('ij,ij->i', Xv, Xv) 

    m=np.cross(Xu,Xv,axisa=1, axisb=1)
    p=sqrt(np.einsum('ij,ij->i', m, m))
    n=m/np.c_[p,p,p]

    #% Second fundamental Coeffecients of the surface (L,M,N)
    L= np.einsum('ij,ij->i', Xuu, n) 
    M= np.einsum('ij,ij->i', Xuv, n) 
    N= np.einsum('ij,ij->i', Xvv, n) 

    #% Gaussian Curvature
    K=(L*N-M**2)/(E*G-L**2)
    K=K.reshape(lr+1,lb+1)

    #% Mean Curvature
    H = (E*N + G*L - 2*F*M)/(2*(E*G - F**2))
    H = H.reshape(lr+1,lb+1)

    #% Principle Curvatures
    Pmax = H + sqrt(H**2 - K)
    Pmin = H - sqrt(H**2 - K)

    return Pmax,Pmin