构造与函数或其他数组成比例的数组间距

Question

我有一个函数（f：黑线），它在一个特定的小区域内急剧变化（导数f'：蓝线，二阶导数f''：红线）。我想对这个函数进行数值积分，如果我均匀分布点（在对数空间中），那么在急剧变化的区域（图中靠近2E15）就会有相当大的误差。在

如何构造一个阵列间距，使其在二阶导数较大的区域（即与二阶导数成比例的采样频率）进行非常好的采样？

我碰巧在用python，但我对一个通用算法感兴趣。在

---

编辑：
1）如果仍然能够控制采样点的数量（至少大致如此）。
2）我曾考虑过构造一个形状类似二阶导数的概率分布函数，并从中随机抽取——但我认为这会导致收敛性较差，而且一般来说，似乎更具确定性的方法应该是可行的。

Answer 1

1）酷的方法

目前，我实现了一种“自适应优化”方法inspired by hydrodynamics techniques。我有一个要采样的函数，f，我选择一些采样点的初始数组x_i。我构造了一个“sampling”函数g，它决定在哪里插入新的采样点。在

在本例中，我选择g作为log(f)的斜率，因为我想解决日志空间中的快速变化。然后我将g的范围划分为L=3细化级别。如果g(x_i)超过了一个细化级别，则该范围被细分为N=2个片段，这些细分将被添加到示例中，并根据下一个级别进行检查。结果如下：

纯灰线是我要采样的函数，黑色十字是我的初始采样点。
灰色虚线是我函数对数的导数。
彩色虚线是我的“优化级别”
彩色十字是我改进的采样点。在

这些都显示在日志空间中。在

2）简单方法

在我完成（1）之后，我意识到我可能只需要在y中选择一个最大间距，然后选择x-间距来实现这一点。类似地，只需在y中平均划分函数，并找到相应的x点。。。。结果如下：