如何规范化numpy（实）fourier变换的谱，使parcevals定理适用？

Question

目前，我正在考虑拍摄一张照片及其光谱。帕切瓦尔定理说，两者的能量应该相等。然而，当我尝试在一些图像上测试这一点时，对于numpy real FFT函数来说似乎不是这样。在

这是我测试时使用的代码：

import numpy as np
from PIL import Image

im = np.array(Image.open('/images/building.jpeg'))
spectral_im = np.fft.rfft2(im, axes = (0,1), norm = 'ortho')

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im))

print('Norm of the image: %d' % getNorm(im))
print('Norm of the spectrum of the image: %f' % getNorm(spectral_im))
print('Difference between norms: %f' % (getNorm(im) - getNorm(spectral_im)))

我期望每个图像的规范之间的差异（大约）为0，但是对于我尝试过的每个图像，它的差别是一个数量级。谁能看出我做错了什么吗？在

在答案的帮助下，下面是正确的代码（请注意float64的额外转换，否则它们仍然不相等）：

^{pr2}$

Answer 1

帕切瓦尔定理指出，信号的平方上的积分和傅里叶变换是相同的。因此getNorm函数应该定义为

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im)**2)

然后是FFT规范化问题。您需要按图像区域（尺寸乘积）规范化FFT：

^{pr2}$

最后，不要使用rfft来验证Parceval定理。rfft的问题是它知道光谱是对称的，所以它跳过了负的一半。然而，在积分（和）中缺少这一半。这听起来像是应该关闭一个因子2，但事实并非如此，因为DC（mean）组件被rfft完全保留（更多细节可以在here）中找到。最好使用普通的FFT（fft2）并省去一些麻烦。在

Answer 2

与Parceval定理中使用的形式相比，标准正向FFT中有一个额外的因子sqrt(N)。考虑到这一点，事情就会如期进行：

x = np.random.rand(200, 100)
f = np.fft.fft2(x)
np.allclose(np.sum(x ** 2),
            np.sum(abs(f) ** 2 / x.size))
# True