Python浮点任意精度可用吗？

Question

只是为了好玩，因为它非常简单，我编写了一个生成Grafting numbers的短程序，但是由于浮点精度问题，它找不到一些更大的示例。

def isGrafting(a):
  for i in xrange(1, int(ceil(log10(a))) + 2):
    if a == floor((sqrt(a) * 10**(i-1)) % 10**int(ceil(log10(a)))):
      return 1

a = 0
while(1):
  if (isGrafting(a)):
    print "%d %.15f" % (a, sqrt(a))
  a += 1

此代码至少遗漏了一个已知的嫁接数。9999999998 => 99999.99998999999999949999999994999999999374999999912...乘以10**5后，它似乎会降低额外的精度。

>>> a = 9999999998
>>> sqrt(a)
99999.99999
>>> a == floor((sqrt(a) * 10**(5)) % 10**int(ceil(log10(a))))
False
>>> floor((sqrt(a) * 10**(5)) % 10**int(ceil(log10(a))))
9999999999.0
>>> print "%.15f" % sqrt(a)
99999.999989999996615
>>> print "%.15f" % (sqrt(a) * 10**5)
9999999999.000000000000000

<>我写了一个简短的C++程序，看看是不是我的CPU以某种方式截断了浮点号或Python。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <stdint.h>

int main()
{
  uint64_t a = 9999999998;
  printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e4, sqrt((double)a)*1e5, sqrt((double)a)*1e6);
  a = 999999999998;
  printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e5, sqrt((double)a)*1e6, sqrt((double)a)*1e7);
  a = 99999999999998;
  printf("%ld %.15f %.15f %.15f %.15f\n", a, sqrt((double)a), sqrt((double)a)*1e6, sqrt((double)a)*1e7, sqrt((double)a)*1e8);
  return 0;
}

哪些输出：

9999999998 99999.999989999996615 999999999.899999976158142 9999999999.000000000000000 99999999990.000000000000000
999999999998 999999.999998999992386 99999999999.899993896484375 999999999999.000000000000000 9999999999990.000000000000000
99999999999998 9999999.999999899417162 9999999999999.900390625000000 99999999999999.000000000000000 999999999999990.000000000000000

所以看起来我在努力克服浮点精度的限制，CPU正在切断剩余的位，因为它认为剩余的差异是浮点错误。在Python下有办法解决这个问题吗？或者我需要转到C并使用GMP或其他什么？

Answer 1

您可以尝试使用Decimal而不是floatingpoint。

Answer 2

对于这个特殊的问题，decimal是一个很好的方法，因为它将十进制数字存储为元组！

>>> a = decimal.Decimal(9999999998)
>>> a.as_tuple()
DecimalTuple(sign=0, digits=(9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8), exponent=0)

因为您正在寻找一个最自然地用十进制表示法表示的属性，所以使用二进制表示法有点傻。你链接到的维基百科页面没有指明在“嫁接数字”开始之前可能出现多少个“非嫁接数字”，因此可以指定：

>>> def isGrafting(dec, max_offset=5):
...     dec_digits = dec.as_tuple().digits
...     sqrt_digits = dec.sqrt().as_tuple().digits
...     windows = [sqrt_digits[o:o + len(dec_digits)] for o in range(max_offset)]
...     return dec_digits in windows
... 
>>> isGrafting(decimal.Decimal(9999999998))
True
>>> isGrafting(decimal.Decimal(77))
True

我认为Decimal.sqrt()的结果很有可能比math.sqrt()的结果更准确，至少在这方面，因为二进制表示和十进制表示之间的转换。例如，请考虑以下内容：

>>> num = decimal.Decimal(1) / decimal.Decimal(7)
>>> decimal.Decimal(math.sqrt(num) ** 2) * 7
Decimal('0.9999999999999997501998194593')
>>> decimal.Decimal(num.sqrt() ** 2) * 7
Decimal('1.000000000000000000000000000')

Answer 3

在标准库中，^{}模块可能是您要查找的。另外，我发现mpmath非常有用。documentation也有许多很好的示例（不幸的是，我的办公计算机没有安装mpmath；否则我将验证几个示例并发布它们）。

不过，有一条关于^{}模块的警告。该模块包含几个用于简单数学运算的内置函数（例如sqrt），但这些函数的结果可能并不总是与math或其他精度较高的模块中的相应函数匹配（尽管它们可能更精确）。例如

from decimal import *
import math

getcontext().prec = 30
num = Decimal(1) / Decimal(7)

print("   math.sqrt: {0}".format(Decimal(math.sqrt(num))))
print("decimal.sqrt: {0}".format(num.sqrt()))

在Python3.2.3中，这将输出前两行

   math.sqrt: 0.37796447300922719758631274089566431939601898193359375
decimal.sqrt: 0.377964473009227227214516536234
actual value: 0.3779644730092272272145165362341800608157513118689214

如前所述，这并不是你所期望的那样，你可以看到精度越高，匹配的结果就越少。注意，decimal模块在本例中确实具有更高的准确性，因为它与actual value更接近。