投资组合优化：如何在受到目标风险影响的情况下实现收益最大化cvxopt.solver.qp？

Question

本文试图利用cvxopt模块来优化投资组合的权重分配，通过限制风险使我的收益函数最大化。我的代码如下：

from cvxopt import matrix, solvers, spmatrix, sparse
from cvxopt.blas import dot
import numpy
import pandas as pd
import numpy as np
from datetime import datetime

solvers.options['show_progress'] = False
# solves the QP, where x is the allocation of the portfolio:
# minimize   x'Px + q'x
# subject to Gx <= h
#            Ax == b
#
# Input:  n       - # of assets
#         avg_ret - nx1 matrix of average returns
#         covs    - nxn matrix of return covariance
#         r_min   - the minimum expected return that you'd
#                   like to achieve
# Output: sol - cvxopt solution object

dates = pd.date_range('2000-01-01', periods=6)
industry = ['industry', 'industry', 'utility', 'utility', 'consumer']
symbols = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']
zipped = list(zip(industry, symbols))
index = pd.MultiIndex.from_tuples(zipped)

noa = len(symbols)

data = np.array([[10, 11, 12, 13, 14, 10],
                 [10, 11, 10, 13, 14, 9],
                 [10, 10, 12, 13, 9, 11],
                 [10, 11, 12, 13, 14, 8],
                 [10, 9, 12, 13, 14, 9]])

market_to_market_price = pd.DataFrame(data.T, index=dates, columns=index)
rets = market_to_market_price / market_to_market_price.shift(1) - 1.0
rets = rets.dropna(axis=0, how='all')

# covariance of asset returns
P    = matrix(rets.cov().values)


n = len(symbols)
q = matrix(np.zeros((n, 1)), tc='d')
G = matrix(-np.eye(n), tc='d')
h = matrix(-np.zeros((n, 1)), tc='d')
A = matrix(1.0, (1, n))
b = matrix(1.0)
sol = solvers.qp(P, q, G, h, A, b)

我是否应该使用蒙特卡罗模拟来获得目标风险，同时实现收益最大化？解决这个问题的最好方法是什么？谢谢您。在

Answer 1

这并不像人们想象的那么简单。典型的投资组合优化问题是以目标收益为目标的风险最小化问题，这是一个具有二次目标的线性约束问题，即二次规划（QP）。在

minimize        x^T.P.x
subject to      sum(x_i) = 1
                avg_ret^T.x >= r_min
                x >= 0 (long-only)

为了使目标风险下的收益最大化，您需要的是一个二次约束二次规划（QCQP），如下所示：

^{pr2}$

在凸二次约束下，优化发生在包含二阶锥因子的更复杂的锥上。如果您想继续使用cvxopt，您必须将QCQP转换为二阶锥程序（SOCP），因为cvxopt没有QCQPs的显式解算器。带有cvxopt的SOCP与典型的QP有不同的矩阵语法，正如您从documentation中看到的那样。这个blog post有一个非常好的演练如何做这个具体的问题。在

Answer 2

我想你是在计算夏普的投资组合。我相信可以证明，这是一个等价于最小化风险（w'Pw）的问题，在回报率上有一个等式约束（w'*rets=1）。这将更容易在二次程序员qp下指定。在