Scipy在计算特征值和特征向量时的问题

Question

我在玩弄微分算子的光谱性质。了解事物 我决定从计算具有周期性边界条件的一维拉普拉斯算子的特征值和特征向量开始

Lap = 
[[-2, 1, 0, 0, ..., 1],
 [ 1,-2, 1, 0, ..., 0],
 [ 0, 1,-2, 1, ..., 0],
 ...
 ...
 [ 0, 0, ..., 1,-2, 1],
 [ 1, 0, ..., 0, 1,-2]]

因此，我运行以下命令

import numpy as np
import scipy.linalg as scilin

N = 12
Lap = np.zeros((N, N))
for i in range(N):
   Lap[i, i] = -2
   Lap[i, (i+1)%N] = 1
   Lap[i, (i-1)%N] = 1

eigvals, eigvecs = scilin.eigh(Lap)

在哪里

> print(eigvals)
[-4.00000000e+00 -3.73205081e+00 -3.73205081e+00 -3.00000000e+00
 -3.00000000e+00 -2.00000000e+00 -2.00000000e+00 -1.00000000e+00
 -1.00000000e+00 -2.67949192e-01 -2.67949192e-01  9.43689571e-16]

这正是我所期望的。但是我决定验证这些特征值和特征向量 你说得对。我最后得到的是

> (Lap - eigvals[0]*np.identity(N)).dot(eigvecs[0])
array([ 0.28544445,  0.69044928,  0.83039882,  0.03466493, -0.79854101,
       -0.81598463, -0.78119579, -0.7445237 , -0.769496  , -0.79741997,
       -1.09625463, -0.69683007])

我希望得到零向量。这是怎么回事

Answer 1

正如@Warren在评论中提到的，特征向量是eigvecs的列。在numpy索引中，eigvecs[0]表示eigvecs的第一行。要解决此问题，请执行以下操作：

print((Lap-eigvals[0]*np.eye(N))@eigvecs[:,0])

[-6.66133815e-16  2.55351296e-15 -1.77635684e-15  1.11022302e-16
  5.55111512e-16 -2.22044605e-16 -3.66373598e-15 -4.44089210e-16
  7.77156117e-16 -1.11022302e-16 -1.66533454e-15  2.22044605e-15]

基本上都是0（由于精度问题，数字在那里）