大于最大特征值的Numpy最大奇异值

Question

让

import numpy as np

M = np.array([[ 1., -0.5301332 , 0.80512845],
              [ 0., 0., 0.],
              [ 0., 0., 0.]])

M是秩1，它唯一的非零特征值是1（它的轨迹）。但是np.linalg.norm(M, ord=2)返回严格大于1的1.39。为什么?

由np.linalg.eigvals返回的M的特征值是1,0,0，但是M的奇异值是1.39,0,0，这让我感到惊讶。我错过了什么

Answer 1

在这种特殊情况下M的2-范数与公式(np.sum(np.abs(M**2)))**(1/2)给出的Frobenius范数一致，因此我们可以看到：

import numpy as np

M = np.array([[ 1., -0.5301332 , 0.80512845],
              [ 0., 0., 0.],
              [ 0., 0., 0.]])

np.sqrt(np.sum(np.abs(M**2)))
1.388982732341062

np.sqrt(np.sum(np.abs(M**2))) == np.linalg.norm(M,ord=2) == np.linalg.norm(M, ord='fro')
True

特别地，我们可以证明2-范数是M.T@M的最大特征值的平方根，即

np.sqrt(np.linalg.eigvals(M.T@M)[0])
1.388982732341062

这就是它和矩阵特征值的关系。现在回想一下，奇异值是M的特征值的平方根。T@M我们打开了迷雾

---

使用Frobenius范数的一个特征（M的迹和的平方根）。T@M):

np.sqrt(np.sum(np.diag(M.T@M)))
1.388982732341062

面对结果：

np.sqrt(np.linalg.eigvals(M.T@M)[0]) == np.sqrt(np.sum(np.diag(M.T@M))) == np.linalg.svd(M)[1][0]
True