找到一组特征值对应的特征值

Question

我用Python解决了这个任务的大部分，但不知道如何输入（甚至理解）剩余的信息。你不应该找到给定某个特征值的特征向量吗，因此它在下面的例子中是相反的：

让对称的3× 3矩阵AbeA=((1 2 1), (2 5 0), (1 0 5))

如果A具有以下三个特征向量，则找到三个相应的特征值：
v1=((-5), (2), (1))v2=((0), (-1), (2))v3=((1), (2), (1))

Answer 1

想想特征向量的定义。由矩阵a表示的线性变换的特征向量v是当对其应用该线性变换时仅在幅度而不是方向上改变的向量。特征向量大小的标量变化就是它的特征值。你有一个线性变换，你已经得到了它的特征向量-要找到特征值，你需要做的就是把变换应用到特征向量上，并确定每个特征向量的标度

Answer 2

给定矩阵arr和向量vec，如果vec是arr的特征向量，那么：

np.dot(arr, vec) == lambda_ * vec

因此，遍历np.dot(arr, vec) / vec的所有值（最终忽略零向量作为势本征向量，并抑制势除零的误差），将揭示本征值：

import numpy as np


def find_eigenvalue(arr, vec):
    result = None
    if not np.all(np.isclose(vec, 0.0)):
        with np.errstate(divide='ignore', invalid='ignore'):
            for x, y in zip(np.dot(arr, vec), vec):
                if np.isclose(y, 0.0) and np.isclose(x, 0.0):
                    continue
                if result is None:
                    result = x / y
                elif not np.isclose(result, x / y):
                    result = None
                    break
    return result

效果如预期：

print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, 0, 0])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([1, 0, 0])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, 1, 0])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, 0, 1])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, -1, 2])))
# 5
print(find_eigenvalue(arr, np.array([-5, 2, 1])))
# -0.0
print(find_eigenvalue(arr, np.array([1, 2, 1])))
# 6.0

---

最后，请注意np.linalg.svd()还将计算所有这些：

u, s, vh = np.linalg.svd(arr)

和s将包含特征值，u和vh将包含特征向量（更准确地说，u中的左奇异特征向量和vh中的右奇异特征向量的厄米特值）