如何计算scipy中曲线弯曲的可能性？

Question

我有一个非线性模型拟合，如下所示：

深色实线为模型拟合，灰色部分为原始数据。

问题的简短版本：我如何得到这个模型拟合的可能性，以便我可以执行对数似然比测试？假设残差是正态分布的。

我对统计学比较陌生，我现在的想法是：

1. 从曲线拟合中得到残差，并计算残差的方差；

2. 使用这个公式 并将残差的方差代入sigma平方，x_i作为实验，mu作为模型拟合；

3. 计算对数似然比。

有谁能帮我解答这两个完整版本的问题吗？

1. 我的方法正确吗？（我想是的，但是确定一下会非常好！）

2. python/scipy/statsmodels中是否有现成的函数可以为我执行此操作？

Answer 1

你的公式在我看来是正确的。它应该提供与scipy.stats.norm.logpdf(x, loc=mu, scale=sigma)相同的结果

既然你已经有了mu和sigma的估计值，我认为没有一个函数可以用于似然比测试，你可以将结果插入其中。

如果您有两个模型的估计值，其中一个嵌套在另一个模型中，那么您可以自己轻松地计算它。

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood-ratio_test

下面是statsmodels中计算LR检验的方法的一部分，用于比较两个嵌套的线性模型 https://github.com/statsmodels/statsmodels/blob/master/statsmodels/regression/linear_model.py#L1531

Answer 2

你的似然函数

它是高斯分布概率密度函数对数的和。

是用mu和sigma拟合残差的可能性，而不是用数据拟合模型的可能性。一句话，你的方法是错误的。

当你在做非线性最小二乘时，按照@usedtheeathstar前面提到的方法，你应该直接进入F-test。考虑下面的例子，从http://www.walkingrandomly.com/?p=5254修改，我们使用R执行F-test。最后我们将讨论如何将其转化为python。

# construct the data vectors using c()
> xdata = c(-2,-1.64,-1.33,-0.7,0,0.45,1.2,1.64,2.32,2.9)
> ydata = c(0.699369,0.700462,0.695354,1.03905,1.97389,2.41143,1.91091,0.919576,-0.730975,-1.42001)
# some starting values
> p1 = 1
> p2 = 0.2
> p3 = 0.01

# do the fit
> fit1 = nls(ydata ~ p1*cos(p2*xdata) + p2*sin(p1*xdata), start=list(p1=p1,p2=p2))
> fit2 = nls(ydata ~ p1*cos(p2*xdata) + p2*sin(p1*xdata)+p3*xdata, start=list(p1=p1,p2=p2,p3=p3))

# summarise
> summary(fit1)

Formula: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata)

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
p1 1.881851   0.027430   68.61 2.27e-12 ***
p2 0.700230   0.009153   76.51 9.50e-13 ***
---
Signif. codes:  0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1

Residual standard error: 0.08202 on 8 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 7 
Achieved convergence tolerance: 2.189e-06

> summary(fit2)

Formula: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata) + p3 * xdata

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
p1  1.90108    0.03520  54.002 1.96e-10 ***
p2  0.70657    0.01167  60.528 8.82e-11 ***
p3  0.02029    0.02166   0.937     0.38    
---
Signif. codes:  0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1

Residual standard error: 0.08243 on 7 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 9 
Achieved convergence tolerance: 2.476e-06

> anova(fit2, fit1)
Analysis of Variance Table

Model 1: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata) + p3 * xdata
Model 2: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata)
  Res.Df Res.Sum Sq Df     Sum Sq F value Pr(>F)
1      7   0.047565                             
2      8   0.053813 -1 -0.0062473  0.9194 0.3696

这里我们有两个模型，fit1有两个参数，因此余数有8个自由度；fit2有一个附加参数，余数有7个自由度。模型2明显更好吗？不，F值是0.9194，在(1,7)自由度上，它不显著。

得到方差分析表：残留DF很容易。剩余平方和：0.08202*0.08202*8=0.05381和0.08243*0.08243*7=0.04756293（注意：'剩余标准误差：7自由度为0.08243'，等等）。在python中，可以通过(y_observed-y_fitted)**2获得它，因为scipy.optimize.curve_fit()不返回残基。

F-ratio是0.0062473/0.047565*7，并得到p值：1-scipy.stats.f.cdf(0.9194, 1, 7)。

把它们放在一起，我们得到了python等价物：

In [1]:

import scipy.optimize as so
import scipy.stats as ss
xdata = np.array([-2,-1.64,-1.33,-0.7,0,0.45,1.2,1.64,2.32,2.9])
ydata = np.array([0.699369,0.700462,0.695354,1.03905,1.97389,2.41143,1.91091,0.919576,-0.730975,-1.42001])
def model0(x,p1,p2):
    return p1*np.cos(p2*x) + p2*np.sin(p1*x)
def model1(x,p1,p2,p3):
    return p1*np.cos(p2*x) + p2*np.sin(p1*x)+p3*x
p1, p2, p3 = 1, 0.2, 0.01
fit0=so.curve_fit(model0, xdata, ydata, p0=(p1,p2))[0]
fit1=so.curve_fit(model1, xdata, ydata, p0=(p1,p2,p3))[0]
yfit0=model0(xdata, fit0[0], fit0[1])
yfit1=model1(xdata, fit1[0], fit1[1], fit1[2])
ssq0=((yfit0-ydata)**2).sum()
ssq1=((yfit1-ydata)**2).sum()
df=len(xdata)-3
f_ratio=(ssq0-ssq1)/(ssq1/df)
p=1-ss.f.cdf(f_ratio, 1, df)
In [2]:

print f_ratio, p
0.919387419515 0.369574503394

正如@usethedeathstar所指出的：当余数是正态分布时，非线性最小二乘是的最大似然。因此F检验和似然比检验是等价的。因为，F-比是似然比λ的单调变换。

或者以描述性的方式，请参见：http://www.stata.com/support/faqs/statistics/chi-squared-and-f-distributions/