Python scikit-learn线性模型参数标准误差

Question

我正在使用sklearn，特别是linear_model模块。在进行简单线性回归后，如下所示：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import linear_model
randn = np.random.randn

X = pd.DataFrame(randn(10,3), columns=['X1','X2','X3'])
y = pd.DataFrame(randn(10,1), columns=['Y'])        

model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X=X, y=y)

我可以通过coef_和intercept_来获取模型的系数和截距，预测也很简单。不过，我想获取这个简单模型的方差-协方差矩阵，以及这些参数的标准误差。我对R语言和vcov()函数比较熟悉，似乎scipy.optimize有一些相关的功能（使用optimize.leastsq方法获取拟合参数的标准误差）——那么sklearn有没有类似的功能来获取这些统计数据呢？

感谢任何帮助。

-Ryan

Answer 1

每个预测器的列格式都是随机的。所以，这就像是在进行三次模拟：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import linear_model
randn = np.random.randn

X = pd.DataFrame(randn(10,1))
y = pd.DataFrame(randn(10,1)) 
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X=X, y=y)
y_pred = model.predict(X)
print(y)
print(y_pred)
residuals = y - y_pred
residuals['c'] = residuals.iloc[:, 0]**2
sq = residuals['c']
print(sq)
standard_error = (sum(sq)/(10-2))**0.5
print(standard_error)

Answer 2

不，scikit-learn 这个库没有提供用于推断的错误估计。不过，Statsmodels 这个库是有的。

import statsmodels.api as sm
ols = sm.OLS(y, X)
ols_result = ols.fit()
# Now you have at your disposition several error estimates, e.g.
ols_result.HC0_se
# and covariance estimates
ols_result.cov_HC0

可以查看 文档

Answer 3

简要说明

用scikit-learn不能直接做到，但你可以通过一些线性代数手动计算。我会在下面的例子中展示这个过程。

另外，这里有一个包含代码的jupyter笔记本：https://gist.github.com/grisaitis/cf481034bb413a14d3ea851dab201d31

什么和为什么

你估计值的标准误差就是你估计值方差的平方根。那么，什么是你估计值的方差呢？如果你假设你的模型有高斯误差，它的计算方式是：

Var(beta_hat) = inverse(X.T @ X) * sigma_squared_hat

然后，beta_hat[i]的标准误差就是Var(beta_hat)[i, i] ** 0.5。

你只需要计算sigma_squared_hat。这就是你模型的高斯误差的估计值。这个值不是事先已知的，但可以通过你的残差的样本方差来估计。

另外，你还需要在数据矩阵中添加一个截距项。scikit-learn的LinearRegression类会自动处理这个问题。所以如果你想自己计算，就需要把这个截距项加到你的X矩阵或数据框中。

怎么做

在你的代码之后开始：

展示你的scikit-learn结果

print(model.intercept_)
print(model.coef_)

[-0.28671532]
[[ 0.17501115 -0.6928708   0.22336584]]

用线性代数重现这个结果

N = len(X)
p = len(X.columns) + 1  # plus one because LinearRegression adds an intercept term

X_with_intercept = np.empty(shape=(N, p), dtype=np.float)
X_with_intercept[:, 0] = 1
X_with_intercept[:, 1:p] = X.values

beta_hat = np.linalg.inv(X_with_intercept.T @ X_with_intercept) @ X_with_intercept.T @ y.values
print(beta_hat)

[[-0.28671532]
 [ 0.17501115]
 [-0.6928708 ]
 [ 0.22336584]]

计算参数估计的标准误差

y_hat = model.predict(X)
residuals = y.values - y_hat
residual_sum_of_squares = residuals.T @ residuals
sigma_squared_hat = residual_sum_of_squares[0, 0] / (N - p)
var_beta_hat = np.linalg.inv(X_with_intercept.T @ X_with_intercept) * sigma_squared_hat
for p_ in range(p):
    standard_error = var_beta_hat[p_, p_] ** 0.5
    print(f"SE(beta_hat[{p_}]): {standard_error}")

SE(beta_hat[0]): 0.2468580488280805
SE(beta_hat[1]): 0.2965501221823944
SE(beta_hat[2]): 0.3518847753610169
SE(beta_hat[3]): 0.3250760291745124

用statsmodels确认结果

import statsmodels.api as sm
ols = sm.OLS(y.values, X_with_intercept)
ols_result = ols.fit()
ols_result.summary()

...
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const         -0.2867      0.247     -1.161      0.290      -0.891       0.317
x1             0.1750      0.297      0.590      0.577      -0.551       0.901
x2            -0.6929      0.352     -1.969      0.096      -1.554       0.168
x3             0.2234      0.325      0.687      0.518      -0.572       1.019
==============================================================================

太好了，完成了！