使用pymc通过MCMC拟合两个正态分布（直方图）？

Question

我正在尝试用光谱仪在CCD上拟合线型轮廓。为了方便说明，我提供了一个示例，如果解决了这个问题，就和我真正想解决的问题非常相似。

我查看了这个链接： https://stats.stackexchange.com/questions/46626/fitting-model-for-two-normal-distributions-in-pymc 以及其他各种问题和答案，但他们做的事情和我想做的根本不同。

import pymc as mc
import numpy as np
import pylab as pl
def GaussFunc(x, amplitude, centroid, sigma):
    return amplitude * np.exp(-0.5 * ((x - centroid) / sigma)**2)

wavelength = np.arange(5000, 5050, 0.02)

# Profile 1
centroid_one = 5025.0
sigma_one = 2.2
height_one = 0.8
profile1 = GaussFunc(wavelength, height_one, centroid_one, sigma_one, )

# Profile 2
centroid_two = 5027.0
sigma_two = 1.2
height_two = 0.5
profile2 = GaussFunc(wavelength, height_two, centroid_two, sigma_two, )

# Measured values
noise = np.random.normal(0.0, 0.02, len(wavelength))
combined = profile1 + profile2 + noise

# If you want to plot what this looks like
pl.plot(wavelength, combined, label="Measured")
pl.plot(wavelength, profile1, color='red', linestyle='dashed', label="1")
pl.plot(wavelength, profile2, color='green', linestyle='dashed', label="2")
pl.title("Feature One and Two")
pl.legend()

我的问题：PyMC（或其他变种）能给我上面两个部分的均值、幅度和标准差吗？

请注意，我在实际问题中拟合的函数并不是高斯函数——所以请用一个通用函数（就像我示例中的GaussFunc），而不是“内置的”pymc.Normal()类型的函数。

另外，我明白模型选择是另一个问题：所以在当前的噪声下，1个部分（轮廓）可能是唯一在统计上合理的选择。但我想看看1、2、3个部分等的最佳解决方案是什么。

我也并不执着于使用PyMC——如果scikit-learn、astroML或其他某个包看起来更合适，请告诉我！

编辑：

我尝试了很多方法，但我认为有一个方向是对的，具体如下：

sigma_mc_one = mc.Uniform('sig', 0.01, 6.5)
height_mc_one = mc.Uniform('height', 0.1, 2.5)
centroid_mc_one = mc.Uniform('cen', 5015., 5040.)

但我无法构建一个有效的mc.model。

Answer 1

这段PyMC代码可能不是最简洁的，但我这样写是为了帮助读者理解。这个代码应该可以运行，并且会给出（非常）准确的结果。

我选择使用均匀的先验分布，范围比较宽泛，因为我对我们要建模的内容并不太确定。不过，可能对于中心位置有一些想法，可以在这方面使用更好的先验分布。

### Suggested one runs the above code first.
### Unknowns we are interested in


est_centroid_one = mc.Uniform("est_centroid_one", 5000, 5050 )
est_centroid_two = mc.Uniform("est_centroid_two", 5000, 5050 )

est_sigma_one = mc.Uniform( "est_sigma_one", 0, 5 )
est_sigma_two = mc.Uniform( "est_sigma_two", 0, 5 )

est_height_one = mc.Uniform( "est_height_one", 0, 5 ) 
est_height_two = mc.Uniform( "est_height_two", 0, 5 ) 

#std deviation of the noise, converted to precision by tau = 1/sigma**2
precision= 1./mc.Uniform("std", 0, 1)**2

#Set up the model's relationships.

@mc.deterministic( trace = False) 
def est_profile_1(x = wavelength, centroid = est_centroid_one, sigma = est_sigma_one, height= est_height_one):
    return GaussFunc( x, height, centroid, sigma )


@mc.deterministic( trace = False) 
def est_profile_2(x = wavelength, centroid = est_centroid_two, sigma = est_sigma_two, height= est_height_two):
    return GaussFunc( x, height, centroid, sigma )


@mc.deterministic( trace = False )
def mean( profile_1 = est_profile_1, profile_2 = est_profile_2 ):
    return profile_1 + profile_2


observations = mc.Normal("obs", mean, precision, value = combined, observed = True)


model = mc.Model([est_centroid_one, 
              est_centroid_two, 
                est_height_one,
                est_height_two,
                est_sigma_one,
                est_sigma_two,
                precision])

#always a good idea to MAP it prior to MCMC, so as to start with good initial values
map_ = mc.MAP( model )
map_.fit()

mcmc = mc.MCMC( model )
mcmc.sample( 50000,40000 ) #try running for longer if not happy with convergence.

重要提示

请记住，这个算法对标签是无所谓的，所以结果可能会把profile1的所有特征都显示为profile2的特征，反之亦然。