Python - 如何计算一个数字的所有n次根？

Question

可以用Python计算一个数字的n个复数根吗？我简单查了一下，发现Python给我的答案好像不对或者不完整：

(-27.0j)**(1.0/3.0) 计算出来的结果是 (2.598076211353316-1.4999999999999998j)

但其实正确的结果应该是3个复数，因为每个非零数字都有n个不同的复数n次根。那在Python里可以做到吗？

Answer 1

如果你想在干净的Python环境中获取所有的根（解），你可以创建一个简单的函数来实现这个功能：

import math

def root(num, r):
    base = num ** (1.0/r)
    roots = [base]
    for i in range(1, r):
        roots.append(complex(base * math.cos(2*math.pi * i / r), base * math.sin(2*math.pi * i / r)))
    return roots

Answer 2

有很多多值的复杂函数，也就是说这些函数在它们的定义域内，某个点可以对应多个值。比如说：根、对数、反三角函数等等。

这些函数之所以能有多个值，通常是因为它们是某个函数的反函数，而那个函数在定义域内有多个值映射到同一个结果。

在进行这些函数的计算时，如果总是返回所有可能的值，那就太麻烦了。以反三角函数为例，它们可能有无穷多个值。

通常，不同的函数值可以用一个整数参数 k 来表示。例如，log z 的值，当 z = r*(cos t + i*sin t) 时，可以表示为 log r + i*(t + k*2*pi)，这里的 k 是任何整数。对于 n 次根，它的值是 r**(1/n)*exp(i*(t+k*2*pi)/n)，其中 k=0..n-1，包括这两个值。

因为返回所有可能的值不太实际，所以 Python 和几乎所有常见的编程语言中的数学函数，通常返回一个叫做“主值”的值。(参考) 主值通常是当 k=0 时的函数值。无论选择什么，都应该在文档中明确说明。

所以，要得到一个复数的所有复杂根，只需要对所有相关的 k 值计算这个函数：

def roots(z, n):
    nthRootOfr = abs(z)**(1.0/n)
    t = phase(z)
    return map(lambda k: nthRootOfr*exp((t+2*k*pi)*1j/n), range(n))

（你需要导入 cmath 模块才能让这个工作。）这样就能得到：

>>> roots(-27j,3)
[(2.59808-1.5j), (1.83691e-16+3j), (-2.59808-1.5j)]

Answer 3

我觉得标准的Python是做不到这个的，除非你自己写一个函数。不过你可以用Numpy来实现：

http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.roots.html