左矩阵除法与Numpy求解

Question

我正在尝试把包含 \ 运算符的 Matlab (Octave) 代码转换成 Python。下面是一个示例代码：

B = [2;4]
b = [4;4]
B \ b

这个代码可以正常运行，结果是 1.2。使用这个网页：

http://mathesaurus.sourceforge.net/matlab-numpy.html

我把它翻译成了：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print lin.solve(B,b)

但是这给我带来了一个错误：

numpy.linalg.linalg.LinAlgError: Array must be square

为什么 Matlab 的 \ 运算符可以在 B 不是方阵的情况下使用？

有没有解决办法？

Answer 1

你可以形成左逆：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])

B_linv = lin.solve(B.T.dot(B), B.T)
c = B_linv.dot(b)
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

其实，我们可以简单地运行一次求解器，而不需要形成逆，像这样：

c = lin.solve(B.T.dot(B), B.T.dot(b))
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

.... 和之前一样

为什么呢？因为：

我们有：

乘以 B.T，我们得到：

现在，B.T.dot(B) 是方阵，且满秩，确实有逆。因此我们可以乘以 B.T.dot(B) 的逆，或者像上面那样使用求解器来得到 c。

Answer 2

在使用\这个符号时，Matlab会根据参与运算的矩阵形状进行不同的操作（想了解更多可以查看这里）。在你的例子中，Matlab返回的是一个最小二乘解，而不是像处理方阵那样直接解线性方程。要在numpy中实现相同的效果，可以这样做：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print np.linalg.lstsq(B,b)[0]

这样做应该能给你和Matlab一样的结果。

Answer 3

来自MathWorks文档关于左矩阵除法的内容：

如果A是一个m行n列的矩阵，并且m不等于n，而B是一个有m个元素的列向量，或者是一个有多个这样的列的矩阵，那么X = A\B就是AX = B这个方程组的最小二乘解。换句话说，X的目的是让A*X - B这个结果的长度最小。

在numpy中，类似的功能可以用np.linalg.lstsq来实现：

In [15]: B = np.array([[2],[4]])

In [16]: b = np.array([[4],[4]])

In [18]: x,resid,rank,s = np.linalg.lstsq(B,b)

In [19]: x
Out[19]: array([[ 1.2]])