使用Cairo绘制固定的均匀三次B样条

Question

我有一组坐标，这些坐标是一个在二维平面上被固定的均匀三次B样条曲线的控制点。我想用Cairo库来画这个曲线（在Python中，使用Cairo的Python绑定），但我知道Cairo只支持贝塞尔曲线。我也知道，B样条曲线中两个控制点之间的段可以用贝塞尔曲线来画，但我找不到具体的公式。给定控制点的坐标，我该如何推导出相应贝塞尔曲线的控制点呢？有没有什么高效的算法可以做到这一点？

Answer 1

将 B样条曲线转换为贝塞尔样条曲线 这个方法有帮助吗？

Answer 2

好的，我在谷歌上搜索了很多，觉得找到了一个适合我需求的合理解决方案。我把它发在这里，希望对其他人也有帮助。

首先，我们来看看一个简单的 Point 类：

from collections import namedtuple

class Point(namedtuple("Point", "x y")):
    __slots__ = ()

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5):
        return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \
                     y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio))

一个三次B样条曲线其实就是一堆 Point 对象的集合：

class CubicBSpline(object):
    __slots__ = ("points", )

    def __init__(self, points):
        self.points = [Point(*coords) for coords in points]

现在，假设我们有一个开放的均匀三次B样条，而不是一个固定的。四个连续的控制点可以定义一个贝塞尔曲线段，所以控制点0到3定义了第一个贝塞尔段，控制点1到4定义了第二个段，依此类推。贝塞尔样条的控制点可以通过在B样条的控制点之间以合适的方式进行线性插值来确定。设A、B、C和D是B样条的四个控制点。我们需要计算以下辅助点：

1. 找到一个点，它将A和B之间的线段按2:1的比例分开，记作A'。
2. 找到一个点，它将C和D之间的线段按1:2的比例分开，记作D'。
3. 将B和C之间的线段分成三等份，得到两个点F和G。
4. 找到A'和F之间的中点，这个点就是E。
5. 找到G和D'之间的中点，这个点就是H。

从E到H的贝塞尔曲线，控制点是F和G，这相当于在点A、B、C和D之间的开放B样条。具体可以参考这份很棒的文档。顺便提一下，上面的方法叫做Böhm算法，如果用正式的数学方式来描述，考虑到非均匀或非三次B样条的话，会复杂得多。

我们需要对B样条的每组4个连续点重复上述过程，所以最后我们需要几乎所有连续控制点对之间的1:2和2:1的分割点。这就是下面的 BSplineDrawer 类在绘制曲线之前所做的事情：

class BSplineDrawer(object):
    def __init__(self, context):
        self.ctx = context

    def draw(self, bspline):
        pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:])
        one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs]
        two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs]

        coords = [None] * 6
        for i in xrange(len(bspline.points) - 3):
            start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1])
            coords[0:2] = one_thirds[i+1]
            coords[2:4] = two_thirds[i+1]
            coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2])

            self.context.move_to(*start)
            self.context.curve_to(*coords)
            self.context.stroke()

最后，如果我们想绘制固定的B样条，而不是开放的B样条，我们只需要将固定B样条的两个端点再重复三次：

class CubicBSpline(object):
    [...]
    def clamped(self):
        new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3
        return CubicBSpline(new_points)

最后，这就是代码的使用方式：

import cairo

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400)
ctx = cairo.Context(surface)

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)]
spline = CubicBSpline(points).clamped()

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.)
ctx.set_line_width(5)
BSplineDrawer(ctx).draw(spline)