如何计算场的拉普拉斯？

Question

我正在尝试使用 scipy.ndimage.convolve 来计算一个二维场A的拉普拉斯算子。

stencil = numpy.array([[0, 1, 0],[1, -4, 1], [0, 1, 0]])
scipy.ndimage.convolve(A, stencil, mode='wrap')

不过，这似乎没有给我正确的结果。有没有人知道我哪里出错了，或者在numpy中有没有更好的计算拉普拉斯算子的方法？

Answer 1

你试过其他的拉普拉斯卷积核吗，比如 [[1,1,1][1,-8,1][1,1,1]] ？

Answer 2

五年前我在想，还有人关心这个吗...

我觉得这是因为卷积方法只是一个近似值，模板基本上是通过有限离散微分来近似二阶导数。增量越小，数值近似就会越接近真实值。

我根据别人的信息做了一些测试。下面是代码和结果图：

import numpy
import scipy.ndimage.filters as filters
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt


stencil=numpy.array([[0,1,0],[1,-4,1],[0,1,0]])

fig=plt.figure(figsize=(10,10),dpi=100)

for ii,jj in enumerate([10,100,1000,10000]):

    x=numpy.linspace(-5,5,jj)
    xx,yy=numpy.meshgrid(x,x)
    step=x[1]-x[0]

    image=numpy.exp(-xx**2-yy**2)

    lap1=filters.laplace(image)/step**2
    #lap2=filters.convolve(image,stencil,mode='wrap')/step**2
    #lap3=signal.convolve2d(image,stencil,mode='same')/step**2
    lap4=4*image*(xx**2+yy**2)-4*image

    ax=fig.add_subplot(2,2,ii+1)
    img=ax.imshow(lap1-lap4)
    ax.set_title('stencil - analytical (dx=%.4f)' %step)
    plt.colorbar(img)

fig.tight_layout()
plt.show()

filters.laplace()、filters.convolve() 和 signal.convolve2d() 的结果都非常接近（实际上，如果你查看 filters.laplace() 的源代码，它实际上和卷积模板核的操作是一样的），所以我只包含了 filters.laplace() 的结果。注意，上述所有操作都没有除以步长的平方。

图表显示，增量步长越小，结果就越接近解析解（也就是 4z(x^2+y^2)-4z）。

Answer 3

我有另一个想法：你有没有考虑过，为了近似拉普拉斯算子，你的模板应该用步长的平方来除，也就是step**2，其中step是你网格的步长？只有这样，你才能把ndimage.convolve的结果和理论结果进行比较。

实际上，使用高斯函数时，我得到的结果表明ndimage.convolve的效果相当不错：

from scipy import ndimage

stencil = numpy.array([[0, 1, 0],[1, -4, 1], [0, 1, 0]])
x = linspace(-10, 10, 100)
y = linspace(-10, 10, 100)
xx, yy = meshgrid(x, y)
image = exp(-xx**2-yy**2)  # Standard deviation in x or y: 1/sqrt(2)

laplaced = ndimage.convolve(image, stencil)/(x[1]-x[0])**2  # stencil from original post
expected_result = -4*image + 8*(xx**2+yy**2)*image  # Very close to laplaced, in most points!