判断两个复数是否相等

Question

下面的代码会让打印语句被执行：

import numpy as np
import math

foo = np.array([1/math.sqrt(2), 1/math.sqrt(2)], dtype=np.complex_)

total = complex(0, 0)
one = complex(1, 0)
for f in foo:
   total = total + pow(np.abs(f), 2)
   if(total != one):
      print str(total) + " vs " + str(one)
      print "NOT EQUAL"

但是，我输入的 [1/math.sqrt(2), 1/math.sqrt(2)] 结果却是 total 变成了 one：

(1+0j) vs (1+0j) NOT EQUAL

这是不是跟把NumPy和Python的复杂类型混在一起有关呢？

Answer 1

总结：

比较浮点数或复数的正确方法是：

def isclose(a, b, rtol=1e-5, atol=1e-8):
    return abs(a-b) < atol + rtol * abs(b)

这实际上就是 np.isclose() 背后的工作原理，使用 np.isclose() 更好，因为它能处理无穷大、非数字等情况。

详细信息：

问题中的特定情况并不仅限于复数。如果你把

total = complex(0, 0)
one = complex(1, 0)

换成它的浮点数等价物

total = 0
one = 1

你会得到完全相同的结果：

0.4999999999999999 vs 1
NOT EQUAL
0.9999999999999998 vs 1
NOT EQUAL

@bereal 提出的标准 abs(a-b) < epsilon 在某些情况下是有效的，但如果你在不同的尺度上查看误差：

>>> np.sqrt(1.234)**2-1.234
2.220446049250313e-16
>>> np.sqrt(12.34)**2-12.34
1.7763568394002505e-15
>>> np.sqrt(123.4)**2-123.4
-1.4210854715202004e-14

你会发现对于大数字，误差是线性增加的（这并不奇怪，因为浮点数在 float64 中只保留 15 位小数），所以使用相对差而不是绝对差会更合理：

abs(a-b)/a < epsilon

这样可以解决误差增加的问题，但即使快速看一下也会发现 a==0 的问题。无论你喜欢哪种方式：
  • abs(a-b)/max(a,b)（在 math.isclose() 中使用），
  • abs(a-b)/(a+b)
或者其他方式，它们都有同样的问题：当 a 和/或 b 为零时会失败。

为了解决这个问题，通常的做法是使用两个“epsilon”：一个绝对的 epsilon（也叫 atol，绝对容忍度）用于与零比较，另一个相对的 epsilon（也叫 rtol，相对容忍度）用于与其他数字比较。

总的来说：
  • np.isclose() 的比较是 abs(a-b) <= atol + rtol * abs(b)
  • math.isclose() 的比较是 abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)

math 版本更对称，但 numpy 版本更快。

Answer 2

在使用浮点数时，要记住这些数字的计算永远不会完全准确，因此每次计算都会受到舍入误差的影响。这是因为浮点运算的设计造成的，而目前在资源有限的计算机上进行高精度数学运算的方式就是这样。你不能用浮点数进行精确计算（实际上没有其他选择），因为你的数字必须在某个地方被截断，以适应合理的内存大小（通常最多64位），这个截断就是通过舍入来实现的（下面有个例子）。

为了正确处理这些问题，你应该避免直接比较浮点数是否相等，而是比较它们的接近程度。Numpy提供了两个函数来实现这一点：np.isclose用于比较单个值（或者对数组进行逐项比较），而np.allclose则用于比较整个数组。后者实际上是np.all(np.isclose(a, b))，这样你就能得到一个数组的单一值。

>>> np.isclose(np.float32('1.000001'), np.float32('0.999999'))
True

不过，有时候舍入的结果非常实用，正好符合我们的分析预期，比如：

>>> np.float(1) == np.square(np.sqrt(1))
True

在平方后，值会被缩小以适应给定的内存，因此在这种情况下，它被舍入到我们所期望的结果。

这两个函数内置了绝对和相对的容忍度（你也可以作为参数传入），用于比较两个值。默认的容忍度是rtol=1e-05和atol=1e-08。

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另外，不要混合使用不同包的类型。如果你使用Numpy，就要使用Numpy的类型和函数。这也会减少你的舍入误差。

顺便提一下：当处理指数差异很大的数字时，舍入误差的影响会更大。

Answer 3

我想，对于真实数字来说，考虑的因素是一样的：永远不要假设它们可以完全相等，而是要认为它们可能足够接近：

eps = 0.000001
if abs(a - b) < eps:
    print "Equal"