三维随机行走回到原点的概率

Question

这是我用Python写的代码，模拟一个在三维空间中随机行走的过程。它会返回这个行走回到起点的概率百分比。根据波利亚常数，三维空间中随机行走回到起点的概率大约是34%。而我计算出来的概率只有11%到12%。如果我把这个结果乘以三（只是个猜测），那么结果就会比较接近波利亚常数，但大多数时候看起来更接近36%。请告诉我在我的数学、逻辑或代码中有什么错误。谢谢！

def r3walk(T):
x = np.zeros((T))
y = np.zeros((T))
z = np.zeros((T))
count = 0
for t in range(1,T):
    walk = random.uniform(0.0,1.0)
    if 0 < walk < 1/float(6):
        x[t] = x[t-1] + 1
    elif 1/float(6) < walk < 2/float(6):
        x[t] = x[t-1] - 1
    elif 2/float(6) < walk < 3/float(6):
        y[t] = y[t-1] + 1
    elif 3/float(6) < walk < 4/float(6):
        y[t] = y[t-1] - 1
    elif 4/float(6) < walk < 5/float(6):
        z[t] = z[t-1] + 1
    else: 
        z[t] = z[t-1] - 1
for t in range(1,T):
    if [x[t],y[t],z[t]] == [0,0,0]:
        count += 1
return count/float(T)

编辑后的代码：

def r32walk(T):
x = np.zeros((T))
y = np.zeros((T))
z = np.zeros((T))
count = 0
for t in range(1,T):
    walk1 = random.uniform(0.0,1.0)
    if walk1 > 0.5:
        x[t] = x[t-1] + 1
    else:
        x[t] = x[t-1] - 1
for t in range(1,T):
    walk2 = random.uniform(0.0,1.0)
    if walk2 > 0.5:
        y[t] = y[t-1] + 1
    else:
        y[t] = y[t-1] - 1
for t in range(1,T):
    walk3 = random.uniform(0.0,1.0)
    if walk3 > 0.5:
        z[t] = z[t-1] + 1
    else:
        z[t] = z[t-1] - 1
for t in range(1,T):
    if [x[t],y[t],z[t]] == [0,0,0]:
        count += 1
#return x,y,z
return count/float(T) * 100

Answer 1

我把这个问题看作是一个蒙特卡洛模拟的问题；也就是说，进行很多次随机走动，然后看看有多少比例在经过一定步数后能回到起点。最简单的做法是写一个函数来完成一次走动，另一个函数来重复这个过程。

import random

def simulation(dimensions, repeats, steps):
    """Simulate probability of returning to the origin."""
    return sum(random_walk(dimensions, steps) 
               for _ in range(repeats)) / float(repeats)

def random_walk(n, s):
    """Whether an n-D random walk returns to the origin within s steps."""
    coords = [0 for _ in range(n)]
    for _ in range(s):
        coords[random.randrange(n)] += random.choice((1, -1))
        if not any(coords):
            return True
    return False

print [simulation(3, 100, 1000) for _ in range(10)]

当steps（步数）和repeats（重复次数）变得越来越大时（也就是我们越接近“真实”的情况，所有可能的走动和无限步数），我预期输出的结果会变得更稳定，不会有太大的波动。对于我得到的数字来说，结果是：

[0.33, 0.36, 0.34, 0.35, 0.34, 0.29, 0.34, 0.28, 0.31, 0.36]