矩阵所有行对的相关系数和p值

Question

我有一个矩阵 data，里面有 m 行和 n 列。我之前用 np.corrcoef 来计算所有行之间的相关系数。

import numpy as np
data = np.array([[0, 1, -1], [0, -1, 1]])
np.corrcoef(data)

现在我还想看看这些相关系数的 p 值。np.corrcoef 不提供 p 值，而 scipy.stats.pearsonr 可以提供。不过，scipy.stats.pearsonr 不接受矩阵作为输入。

有没有什么简单的方法可以同时计算所有行对的相关系数和 p 值（比如得到两个 m x m 的矩阵，一个是相关系数，另一个是对应的 p 值），而不需要手动去一对一地计算？

Answer 1

这个功能的表现和MATLAB里的corrcoef完全一样：

要让这个功能正常工作，你需要安装pandas和scipy这两个库。

# Compute correlation correfficients matrix and p-value matrix
# Similar function as corrcoef in MATLAB
# dframe: pandas dataframe
def corrcoef(dframe):

    fmatrix = dframe.values
    rows, cols = fmatrix.shape

    r = np.ones((cols, cols), dtype=float)
    p = np.ones((cols, cols), dtype=float)

    for i in range(cols):
        for j in range(cols):
            if i == j:
                r_, p_ = 1., 1.
            else:
                r_, p_ = pearsonr(fmatrix[:,i], fmatrix[:,j])

            r[j][i] = r_
            p[j][i] = p_

    return r, p

Answer 2

如果你不一定要使用 皮尔逊相关系数，你可以选择使用 斯皮尔曼相关系数。因为斯皮尔曼相关系数可以同时返回相关矩阵和p值（需要注意的是，皮尔逊相关系数要求你的数据是正态分布的，而斯皮尔曼相关系数是一种非参数测量方法，不需要假设你的数据是正态分布的）。下面是一个示例代码：

from scipy import stats
import numpy as np

data = np.array([[0, 1, -1], [0, -1, 1], [0, 1, -1]])
print 'np.corrcoef:', np.corrcoef(data)
cor, pval = stats.spearmanr(data.T)
print 'stats.spearmanr - cor:\n', cor
print 'stats.spearmanr - pval\n', pval

Answer 3

这有点像小技巧，可能效率不是特别高，但我觉得这可能正是你需要的：

import scipy.spatial.distance as dist

import scipy.stats as ss

# Pearson's correlation coefficients
print dist.squareform(dist.pdist(data, lambda x, y: ss.pearsonr(x, y)[0]))    

# p-values
print dist.squareform(dist.pdist(data, lambda x, y: ss.pearsonr(x, y)[1]))

Scipy的pdist是一个非常有用的函数，主要用于计算n维空间中观察值之间的成对距离。

这个函数允许用户定义自己的“距离度量”，这意味着你可以用它来进行任何类型的成对操作。结果会以压缩的距离矩阵形式返回，你可以使用Scipy的'squareform'函数轻松地将其转换为方阵形式。

Answer 4

最简单的方法可能就是使用 pandas 里的内置方法 .corr 来计算相关系数 r：

In [79]:

import pandas as pd
m=np.random.random((6,6))
df=pd.DataFrame(m)
print df.corr()
          0         1         2         3         4         5
0  1.000000 -0.282780  0.455210 -0.377936 -0.850840  0.190545
1 -0.282780  1.000000 -0.747979 -0.461637  0.270770  0.008815
2  0.455210 -0.747979  1.000000 -0.137078 -0.683991  0.557390
3 -0.377936 -0.461637 -0.137078  1.000000  0.511070 -0.801614
4 -0.850840  0.270770 -0.683991  0.511070  1.000000 -0.499247
5  0.190545  0.008815  0.557390 -0.801614 -0.499247  1.000000

如果想用 t 检验来获取 p 值，可以这样做：

In [84]:

n=6
r=df.corr()
t=r*np.sqrt((n-2)/(1-r*r))

import scipy.stats as ss
ss.t.cdf(t, n-2)
Out[84]:
array([[ 1.        ,  0.2935682 ,  0.817826  ,  0.23004382,  0.01585695,
         0.64117917],
       [ 0.2935682 ,  1.        ,  0.04363408,  0.17836685,  0.69811422,
         0.50661121],
       [ 0.817826  ,  0.04363408,  1.        ,  0.39783538,  0.06700715,
         0.8747497 ],
       [ 0.23004382,  0.17836685,  0.39783538,  1.        ,  0.84993082,
         0.02756579],
       [ 0.01585695,  0.69811422,  0.06700715,  0.84993082,  1.        ,
         0.15667393],
       [ 0.64117917,  0.50661121,  0.8747497 ,  0.02756579,  0.15667393,
         1.        ]])
In [85]:

ss.pearsonr(m[:,0], m[:,1])
Out[85]:
(-0.28277983892175751, 0.58713640696703184)
In [86]:
#be careful about the difference of 1-tail test and 2-tail test:
0.58713640696703184/2
Out[86]:
0.2935682034835159 #the value in ss.t.cdf(t, n-2) [0,1] cell

另外，你也可以直接使用你在问题中提到的 scipy.stats.pearsonr：

In [95]:
#returns a list of tuples of (r, p, index1, index2)
import itertools
[ss.pearsonr(m[:,i],m[:,j])+(i, j) for i, j in itertools.product(range(n), range(n))]
Out[95]:
[(1.0, 0.0, 0, 0),
 (-0.28277983892175751, 0.58713640696703184, 0, 1),
 (0.45521036266021014, 0.36434799921123057, 0, 2),
 (-0.3779357902414715, 0.46008763115463419, 0, 3),
 (-0.85083961671703368, 0.031713908656676448, 0, 4),
 (0.19054495489542525, 0.71764166168348287, 0, 5),
 (-0.28277983892175751, 0.58713640696703184, 1, 0),
 (1.0, 0.0, 1, 1),
#etc, etc

Answer 5

我今天也遇到了同样的问题。

经过半个小时的搜索，我发现numpy/scipy库里没有任何代码能帮我解决这个问题。

于是我自己写了一个corrcoef的版本。

import numpy as np
from scipy.stats import pearsonr, betai

def corrcoef(matrix):
    r = np.corrcoef(matrix)
    rf = r[np.triu_indices(r.shape[0], 1)]
    df = matrix.shape[1] - 2
    ts = rf * rf * (df / (1 - rf * rf))
    pf = betai(0.5 * df, 0.5, df / (df + ts))
    p = np.zeros(shape=r.shape)
    p[np.triu_indices(p.shape[0], 1)] = pf
    p[np.tril_indices(p.shape[0], -1)] = p.T[np.tril_indices(p.shape[0], -1)]
    p[np.diag_indices(p.shape[0])] = np.ones(p.shape[0])
    return r, p

def corrcoef_loop(matrix):
    rows, cols = matrix.shape[0], matrix.shape[1]
    r = np.ones(shape=(rows, rows))
    p = np.ones(shape=(rows, rows))
    for i in range(rows):
        for j in range(i+1, rows):
            r_, p_ = pearsonr(matrix[i], matrix[j])
            r[i, j] = r[j, i] = r_
            p[i, j] = p[j, i] = p_
    return r, p

第一个版本使用了np.corrcoef的结果，然后根据相关系数矩阵的上三角值计算p值。

第二个循环版本则是逐行遍历，手动计算皮尔逊相关系数。

def test_corrcoef():
    a = np.array([
        [1, 2, 3, 4],
        [1, 3, 1, 4],
        [8, 3, 8, 5],
        [2, 3, 2, 1]])

    r1, p1 = corrcoef(a)
    r2, p2 = corrcoef_loop(a)

    assert np.allclose(r1, r2)
    assert np.allclose(p1, p2)

测试通过了，它们的结果是一样的。

def test_timing():
    import time
    a = np.random.randn(100, 2500)

    def timing(func, *args, **kwargs):
        t0 = time.time()
        loops = 10
        for _ in range(loops):
            func(*args, **kwargs)
        print('{} takes {} seconds loops={}'.format(
            func.__name__, time.time() - t0, loops))

    timing(corrcoef, a)
    timing(corrcoef_loop, a)


if __name__ == '__main__':
    test_corrcoef()
    test_timing()

在我的Macbook上测试100x2500的矩阵性能：

corrcoef耗时0.06608104705810547秒，循环次数=10

corrcoef_loop耗时7.585600137710571秒，循环次数=10