darmonpoints 3.2.0

这是什么？

darmon points包可以计算许多不同类型的所谓darmon点。这些在一些文献中被称为stark heegner点，起源于[Darmon]。随后的推广由[Greenberg]和[Trifkovic]引入。这已通过[GMS1]推广到定义在任意签名的数字域上的椭圆曲线。达蒙点附加到三元组（f，e，k），其中f是一个数域，e/f是在f上定义的椭圆曲线，k/f是一个二次扩张。这些三元组必须满足附加达蒙点的某些条件。本文[GMS1]包含了所有这些内容的概述。我们还包括[KP]中使用的变体。

只要满足某些条件，darmonpoints包还可以计算某些椭圆曲线的方程。即：

1. f具有窄类数1。
2. 如果n是椭圆曲线的导体，则它必须接受n=pdm形式的因式分解，其中：
   1. p、d和m是相对互质的。
   2. pp是素数范数的ff的素数理想。
   3. d是四元数代数对仅在一个无限处分裂的f的判别式。

最后，我们包括模块padicPeriods，它允许计算附属于同一算术群的上同调的二维分量的p-adic周期，并且它允许我们在某些情况下找到相应的阿贝尔曲面（参见[GM]）。

完整的文档可以在http://mmasdeu.github.io/darmonpoints/doc/html/

安装

由于matthias kóppe“sample sage”（https://github.com/mkoeppe/sage_sample），安装darmonpoints包已经大大简化。对于大多数操作，确实需要安装magma（https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/），尽管我们确实希望sage在将来包含所需的功能。

为了方便起见，我们在aurel page中包含依赖magma包kleiniangroups，其原始版本可以在http://www.normalesup.org/~page/Recherche/Logiciels/KleinianGroups/KleinianGroups-1.0.tar.gz中找到。

要安装软件包，请使用以下命令：

sage -pip install --user --upgrade darmonpoints

如果您更愿意从github存储库安装最新版本（可能会损坏），请使用以下命令：

sage -pip install --user --upgrade -v git+https://github.com/mmasdeu/darmonpoints.git

基本用法

文件darmonpoints.py、findcurve.py和padicperiods.py包含显示如何使用包的高级例程，但如果您觉得有冒险精神，也可以使用包的其他部分。以下是一些可以尝试的示例计算：

sage: from darmonpoints.darmonpoints import darmon_point

1. 经典的达蒙（又名斯塔克·希格纳）观点。下面将对椭圆曲线35a1：

   进行精度7^20的ADIC计算，以在判别41的实二次域上找到一个点

   sage: darmon_point(7,EllipticCurve('35a1'),41,20)
   

2. 四元数达蒙（又名格林伯格）点：

   sage: darmon_point(13,EllipticCurve('78a1'),5,20)
   

3. 混合签名域上曲线的达蒙点：

   sage: F.<r> = NumberField(x^3 - x^2 - x + 2)
   sage: E = EllipticCurve([-r -1, -r, -r - 1,-r - 1, 0])
   sage: N = E.conductor()
   sage: P = F.ideal(r^2 - 2*r - 1)
   sage: beta = -3*r^2 + 9*r - 6
   sage: darmon_point(P,E,beta,20)
   

我们还可以发现曲线方程！

1. 我们首先找到了一条关于理性的曲线。以下命令将使用精度为5^20的ADIC计算和判别式6的四元数代数，找到导体30的曲线：

   sage: from darmonpoints.findcurve import find_curve
   sage: find_curve(5,6,30,20)
   

   这将使用公式构造曲线：

   y^2 + x*y + y = x^3 + x + 2
   

2. 对于在实二次域上定义的曲线。注意，这里我们必须指定ace将在四元数代数中分支：

   sage: from darmonpoints.findcurve import find_curve
   sage: F.<r> = QuadraticField(5)
   sage: P = F.ideal(3/2*r + 1/2)
   sage: D = F.ideal(3)
   sage: find_curve(P,D,P*D,30,ramification_at_infinity = F.real_places()[:1])
   

   返回如下内容：

   y^2 + (1/2*r-1/2)*x*y = x^3 + (1/2*r+1/2)*x^2 + (285/2*r-793/2)*x + (3153/2*r-7689/2)
   

3. 三次混合签名域上的曲线：

   sage: from darmonpoints.findcurve import find_curve
   sage: F.<r> = NumberField(x^3 -3)
   sage: P = F.ideal(r-2)
   sage: D = F.ideal(r-1)
   sage: find_curve(P,D,P*D,30)
   

   这将返回一条椭圆曲线，如下所示：

   y^2 + r*x*y + (r+1)*y = x^3 + (-575*r^2-829*r-1195)*x + (-13327*r^2-19221*r-27721)