abelian 1.0.1

类和方法

下面列出了最重要的课程该软件包含许多其他未列出的功能和方法

• 类{tt3}$表示基本生命周期，即R，Z，T=R/Z，Z和这些组的直接和。

  • 基本方法：同一lca，直接和，等式，同构，元素投影，庞特瑞亚金对偶。

• 类HomLCA表示LCA之间的同态。

  • 基本方法：恒等态射，零态射，相等，合成，求值，叠加，元素操作，核，共核，象，共象，对偶（伴随）态射。

• 类LCAFunc表示从LCAs到复数的函数。

  • 基本方法：求值、构图、移位（平移）、向后拉、向前推、逐点操作（即加法）。

示例

下面的例子展示了六边形晶格的傅里叶分析

我们在r^2上创建了一个高斯函数，并为采样创建了一个同态。

fromabelianimportLCA,HomLCA,LCAFunc,voronoifrommathimportexp,pi,sqrtZ=LCA(orders=[0],discrete=[True])R=LCA(orders=[0],discrete=[False])# Create the Gaussian function on R^2function=LCAFunc(lambdax:exp(-pi*sum(j**2forjinx)),domain=R**2)# Create an hexagonal sampling homomorphism (lattice on R^2)phi=HomLCA([[1,1/2],[0,sqrt(3)/2]],source=Z**2,target=R**2)phi=phi*(1/7)# Downcale the hexagonfunction_sampled=function.pullback(phi)

下，我们近似高斯的二维积分。

# Approximate the two dimensional integral of the Gaussianscaling_factor=phi.A.det()integral_sum=0forelementinphi.source.elements_by_maxnorm(list(range(20))):integral_sum+=function_sampled(element)print(integral_sum*scaling_factor)# 0.999999997457763

使用FFT近似高斯变换的傅立叶变换。

# Sample, periodize and take DFT of the Gaussianphi_p=HomLCA([[10,0],[0,10]],source=Z**2,target=Z**2)periodized=function_sampled.pushforward(phi_p.cokernel())dual_func=periodized.dft()# Interpret the output of the DFT on R^2phi_periodize_ann=phi_p.annihilator()# Compute a Voronoi transversal function, interpret on R^2sigma=voronoi(phi.dual(),norm_p=2)factor=phi_p.A.det()*scaling_factortotal_error=0forelementindual_func.domain.elements_by_maxnorm():value=dual_func(element)coords_on_R=sigma(phi_periodize_ann(element))# The Gaussian is invariant under Fourier transformation, so we can# compare the error using the analytical expressiontrue_val=function(coords_on_R)approximated_val=abs(value)total_error+=abs(true_val-approximated_val*factor)asserttotal_error<10e-15

有关更多示例和信息，请参见the documentation。