使用记忆化/动态规划的Java组合学

Question

我正在制作一个程序，给出两个数字可能的组合数量，比如N选择K。我有一个递归解决方案，如下所示：

public static int combinations(int group, int members) {
    if (members == 1) {
        return group;
    }
    else if (members == group) {
        return 1;
    }
    else {
        return(combinations(group - 1, members - 1) + 
                combinations(group - 1, members));
    }
}

这一个是可行的，但我需要使用记忆来提高时间复杂度，并为更大的数字加快速度，我不知道如何去做。我该怎么做呢

Answer 1

一种方法是缓存，这会带来巨大的内存使用成本

public static int combinations(int group, int members) {
    if (members > group - members) {
        members = group - members; // 21 choose 17 is same as 21 choose 4
    }

    final int[][] cache = new int[group][members];
    return combinations(group, members, cache);
}
private static int combinations(int group, int members, int[][] cache) {
    if (cache[group - 1][members - 1] > 0) {
        return cache[group - 1][members - 1];
    }
    else if (members == 1) {
        cache[group - 1][members - 1] = group;
        return group;
    }
    else if (members == group) {
        cache[group - 1][members - 1] = 1;
        return 1;
    }
    else {
        return (combinations(group - 1, members - 1, cache) + combinations(group - 1, members, cache));
    }
}

我做了一些快速测试（非专业基准测试），发现原来的方法占用了缓存方法一半的时间。看起来所有这些对阵列缓存的读/写操作都大大降低了速度

另一种方法是改变整个公式

public static int combinations(int group, int members) {
    if (members > group - members) {
        members = group - members;
    }

    int answer = 1;
    for (int i = group; i > group - members; i ) {
        answer *= i;
    }

    for (int i = 1; i <= members; i++) {
        answer /= i;
    }

    return answer;
}

再次，我用原始方法测试了新方法（我让他们使用BigInteger进行测试），新方法速度惊人（原始方法26秒，后者0.00秒，35-15秒）

再加上一点，我认为使用递归调用的时间复杂度是O((group)(log members))，而使用新公式只是O(members)

Answer 2

按照n choose k = ( n - 1 choose k - 1) + ( n-1 choose k )的公式进行 自下而上的动态规划方法是：

dp[n][k] = dp[n-1][k-1] + dp[n-1][k] if n > k 
else if n == k
dp[n][k] = 1
else
dp[n][k] = 0

从n = 1和k = 1开始

dp[1][1] = 1; dp[1][0] = 1; 

然后填充一个二维数组直到dp[n][k]

它也可以像你的情况那样通过备忘录来完成。您的方法可以更改为：

int[][] dp = new int[group][members];

public static int combinations(int group, int members, int[][] dp ) {

    if (members == 1) {
        return group;
    } else if (members == group) {
        return 1;
    }

    if ( dp[group][members] != 0 ) {
       return dp[group][members];
    }

    int first = 0, second = 0;
    if ( members <= group - 1) {
      first = combinations( group - 1, members - 1, dp );
      second = combinations( group - 1, members );
    } else if ( members - 1 <= group - 1 ) {
      first = combinations( group - 1, members - 1, dp );
    }
    dp[group][members] = first + second;

    return dp[group][members];
}