三角数组中随机数偏置的数学方法

Question

这个问题是Java- Math.random(): Selecting an element of a 13 by 13 triangular array的延伸。我随机选择了两个数字（包括0-12），我希望这些值相等

但现在，由于这是一个乘法游戏，我想找到一种方法来偏向结果，以便某些组合出现得更频繁（比如如果玩家在12x8上表现更差，我希望它出现得更频繁）。最后，我想偏向91种组合中的任何一种，但一旦我把这一点记下来，那就不难了

我的想法是：在三角形数字上加上一些int n，然后Random.nextInt(91 + n)使结果偏向于一个组合

private int[] triLessThan(int x, int[] bias) { // I'm thinking a 91 element array, 0 for no bias, positive for bias towards
    int i = 0;
    int last = 0;
    while (true) {
                    int sum = 0;
                    for (int a = 0; a < i * (i + 2)/2; a++){
                        sum += bias[a]
                    }
        int triangle = i * (i + 1) / 2;
        if (triangle + sum > x){
            int[] toReturn = {last,i};
            return toReturn;
        }
        last = triangle;
        i++;
    }
}

在随机数字滚动时：

int sum = sumOfArray(bias); // bias is the array;
int roll = random.nextInt(91 + sum);
int[] triNum = triLessThan(roll);
int num1 = triNum[1];
int num2 = roll - triNum[0]; //now split into parts and make bias[] add chances to one number.

sumOfArray只找到和（这个公式很简单）。这样行吗

编辑：使用Floris的想法：

随机数字滚动：

int[] bias = {1,1,1,...,1,1,1} // 91 elements
int roll = random.nextInt(sumOfBias());
int num1 = roll;
int num2 = 0;
while (roll > 0){
    roll -= bias[num2];
    num2++;
}
num1 = (int) (Math.sqrt(8 * num2 + 1) - 1)/2;
num2 -= num1 * (num1 + 1) / 2;

Answer 1

你已经知道如何将一个介于0和91之间的数字转换成一个滚动（从上一个问题的答案开始）。我建议您创建一个由N个元素组成的数组，其中N>>；91.用0填充前91个元素。。。90，并将计数器A设置为91。现在选择一个介于0和a之间的数字，从数组中选择相应的元素，并转换为乘法问题。如果答案是错误的，则将问题的编号附加到数组的末尾，并将A增加1

这将创建一个数组，其中采样频率将表示错误解决问题的次数，但如果下次问题得到正确解决，则不会再次降低频率

另一种更好的解决方案是，与您的解决方案更接近一点（但不同），它创建了一个91个频率的数组，每个频率最初设置为1，并跟踪总和（最初为91）。但是现在，当你选择一个随机数（介于0和和之间）时，你会遍历数组，直到累积和大于你的随机数——箱子的数量就是你选择的滚动，你可以用前面推导的公式来转换它。如果答案是错误的，则增加bin并更新总和；如果它是正确的，您可以减少总和，但决不能减少到小于1的值，并更新总和。重复一遍

这应该给出你想要的东西：给定一个91个数字的数组（“箱子”），随机选择一个箱子，这样箱子的概率与里面的值成正比。返回bin的索引（可以使用之前的方法将其转换为数字的组合）。调用此函数时，bin（frequency）数组作为第一个参数，累积和作为第二个参数。查找前n个元素的累积和首先超过由频率之和缩放的随机数的位置：

private int chooseBin(float[] freq, float fsum) {
// given an array of frequencies (probabilities) freq
// and the sum of this array, fsum
// choose a random number between 0 and 90
// such that if this function is called many times
// the frequency with which each value is observed converges
// on the frequencies in freq
    float x, cs=0; // x stores random value, cs is cumulative sum
    int ii=-1;     // variable that increments until random value is found

    x = Math.rand();

    while(cs < x*fsum && ii<90) { 
    // increment cumulative sum until it's bigger than fraction x of sum
        ii++;
        cs += freq[ii];
    }
return ii;
}

我确认它给了我一个直方图（蓝色条），看起来和我输入的概率分布完全一样（红线）：

（注意：这是用matlab绘制的，因此X从1到91，而不是从0到90）

下面是另一个想法（这并不能真正回答这个问题，但可能更有趣）：

你可以通过抽样而不是均匀分布来改变你选择某个特定问题的概率。例如，均匀抽样随机变量的平方将有利于较小的数字。这给了我们一个有趣的可能性：

首先，将91个数字随机排列

接下来，从非均匀分布中选择一个数字（倾向于较小的数字）。由于这些数字是随机排列的，事实上，它们被选中的可能性是相同的。但现在有一个诀窍：如果问题（由选择的数字表示）得到了正确解决，则将问题编号“移动到堆栈顶部”，在该位置再次选择的可能性最小。如果玩家搞错了，它会被移动到堆栈的底部，在那里很可能再次被选中。随着时间的推移，困难的问题会转移到最底层

可以使用以下变量创建具有不同倾斜度的随机分布：

roll = (int)(91*(asin(Math.rand()*a)/asin(a)))

当a接近1时，函数倾向于支持较低的数字，而较高数字的概率几乎为零：

我相信以下代码部分符合我的描述：

private int[] chooseProblem(float bias, int[] currentShuffle) { 
// if bias == 0, we choose from uniform distribution
// for 0 < bias <= 1, we choose from increasingly biased distribution
// for bias > 1, we choose from uniform distribution
// array currentShuffle contains the numbers 0..90, initially in shuffled order
// when a problem is solved correctly it is moved to the top of the pile
// when it is wrong, it is moved to the bottom.
// return value contains number1, number2, and the current position of the problem in the list
    int problem, problemIndex;

    if(bias < 0 || bias > 1) bias = 0;

    if(bias == 0) {
        problem = random.nextInt(91);
        problemIndex = problem;
    }
    else {
        float x = asin(Math.random()*bias)/asin(bias);
        problemIndex = Math.floor(91*x);
        problem = currentShuffle[problemIndex];
    }

    // now convert "problem number" into two numbers:
    int first, last;    
    first = (int)((Math.sqrt(8*problem + 1)-1)/2);
    last = problem - first * (first+1) / 2;

    // and return the result:
    return {first, last, problemIndex};
}


private void shuffleProblems(int[] currentShuffle, int upDown) {
// when upDown==0, return a randomly shuffled array
// when upDown < 0, (wrong answer) move element[-upDown] to zero
// when upDown > 0, (correct answer) move element[upDown] to last position
// note - if problem 0 is answered incorrectly, don't call this routine!

    int ii, temp, swap;

    if(upDown == 0) {

        // first an ordered list:
        for(ii=0;ii<91;ii++) {
            currentShuffle[ii]=ii;
        }

        // now shuffle it:
        for(ii=0;ii<91;ii++) {
            temp = currentShuffle[ii];
            swap = ii + random.nextInt(91-ii);
            currentShuffle[ii]=currentShuffle[swap];
            currentShuffle[swap]=temp;
        }
        return;
    }

    if(upDown < 0) {
        temp = currentShuffle[-upDown];
        for(ii = -upDown; ii>0; ii ) {
            currentShuffle[ii]=currentShuffle[ii-1];
        }
        currentShuffle[0] = temp;
    }
    else {
        temp = currentShuffle[upDown];
        for(ii = upDown; ii<90; ii++) { 
            currentShuffle[ii]=currentShuffle[ii+1];
        }
        currentShuffle[90] = temp;
    }
    return;
}


// main problem posing loop:

int[] currentShuffle = new int[91];
int[] newProblem;
int keepGoing = 1;

// initial shuffle:
shuffleProblems( currentShuffle, 0); // initial shuffle

while(keepGoing) {
    newProblem = chooseProblem(bias, currentShuffle);
    // pose the problem, get the answer
    if(wrong) {
        if(newProblem > 0) shuffleProblems( currentShuffle, -newProblem[2]);
    }
    else shuffleProblems( currentShuffle, newProblem[2]);
    // decide if you keep going...
}