java将整数分解为k个部分

Question

我在用java编程，我需要制定一个算法。算法的要求是：

• 我们有3个整数变量n，m，k
• 我们想把n分成k个部分，这样k个部分的总和 等于n，每个部分都是介于1和m之间的整数
• 我们需要所有可能的整数组合

例如，对于输入集：

n = 7; m = 3; k = 4

我们可以制定两种不同的组合：

7 = 2 + 2 + 2 + 1

及

7 = 3 + 2 + 1 + 1

谢谢大家

Answer 1

其思想是一种回溯算法方法（使用递归），您可以减少参数并获得部分解，然后检查是否有正确的解

public class Problem {

    private static void algorithm(int n, int k, int m) {
        algorithmRecursive(Collections.EMPTY_LIST, n, k, m, 1);
    }

    private static void algorithmRecursive(List<Integer> partial, int n, int k, int m, int min) {
        if ( (k > 0) ) {
            // Optimization
            if ((n <= k * m) && (n >= k*min)){
                for (int i = min; i <= Math.min(m, n); i++) {
                    List<Integer> newPartial = new ArrayList<>(partial);
                    newPartial.add(i);
                    algorithmRecursive(newPartial, n - i, k - 1, m, i);
                }
            }
        } else if (n == 0) {
            // Right solution
            System.out.println(partial);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        algorithm(7,4,3);
    }
}

Answer 2

要获得“分割数”的计数，可以使用Dynamic Programming，它遵循递归公式：

D(0,0,j) = 1
D(x,0,j) = 0     x > 0
D(x,i,j) = 0     x < 0 or j<0
D(x,i,j) = D(x-j,i-1,j) + D(x,i,j-1)

用D(n,k,m)表示的答案是这样的划分的数量。
复杂性是O(n*k*m)

Java代码：

public static int numDivisions(int n, int m, int k) {
    int[][][] D = new int[n+1][k+1][m];
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        for (int x = 0; x <= n; x++) {
            D[x][0][j] = 0;
        }
        D[0][0][j] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= k; i++) { 
        for (int x = 0; x <= n; x++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                D[x][i][j] = 0;
                if (j > 0) D[x][i][j] += D[x][i][j-1];
                if (x-j-1 >=0) D[x][i][j] += D[x-j-1][i-1][j];
            }
        }
    }
    return D[n][k][m-1];
}

作为旁注，这类似于stars and bars问题，但这里的顺序并不重要，此外，您还有单元格中“星”数的上限

Answer 3

我相信用递归可以很容易地做到这一点。首先检查是否可以对n进行除法，即n<=m*k && n>=k，如果不能，则返回空数组

如果它是可除的，则依次从范围[1..m]中选择m'，并选择该值作为第一个数字，然后递归地获取参数n'=n-'m, m'=m', k'=k-1的其余值，然后返回所有结果

递归将仅对n=0和k=0成功停止。时间复杂度应与输出的大小相同