由输入数据点生成光滑曲线的算法

Question

我正在寻找一种算法，它可以在点进入live时平滑地插值。你知道吗

例如，假设我从10（x，y）对数组开始。我目前正在使用scipy和高斯窗口来生成平滑曲线。但是，我不知道如何更新平滑曲线，以响应在未来某个点生成的第11个点（而不完全重新对所有11个点进行平滑）。你知道吗

我要找的是一个算法，它可以沿着前面的平滑曲线一直到第10对（x，y）并且也可以在第10对和第11对之间平滑插值（以一种类似于重做整个算法的方式-因此没有锐边）。有什么东西能满足我的要求吗？你知道吗

Answer 1

我想你可以利用Cubic Spline。给定一个n点(x_1, y_1)..(x_n, y_n)列表，该算法在(x_k, y_k)和(x_{k+1}, y_{k+1})之间找到一个具有以下约束的三次多项式p_k：

• 多项式p_k和p_{k+1}通过点(x_{k+1}, y_{k+1})
• 多项式p_k和p_{k+1}在(x_{k+1}, y_{k+1})处具有相同的一阶导数
• 多项式p_k和p_{k+1}在(x_{k+1}, y_{k+1})处具有相同的二阶导数。你知道吗

此外，还有一些边界条件，为第一个和最后一个多项式定义。我使用了natural，它强制曲线末端的二阶导数为零。你知道吗

您可以应用以下步骤：

1. 使用三次样条插值前10个点。你知道吗
2. 将p_10处的一阶导数值赋给变量d。你知道吗
3. 运行p_10和p_11的三次样条曲线，强制要求p_10处的一阶导数为d，p_11处的二阶导数为零。你知道吗

从这里开始，您可以对其余的点重复相同的步骤。你知道吗

此代码将为所有点生成插值：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline

height=4
n = 20
x = np.arange(n)
xs = np.arange(-0.1,n+0.1,0.1)
y = np.random.uniform(low=0, high=height, size=n)

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
cs = CubicSpline(x, y)
plt.plot(xs, cs(xs), color='orange')
plt.ylim([0, height+1])

现在，此代码将对前10个点进行插值，然后在点10和11之间进行另一次插值：

k = 10
delta = 0.001

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
xs = np.arange(x[0], x[k-1]+delta, delta)
cs = CubicSpline(x[0:k], y[0:k])
plt.plot(xs, cs(xs), color='red')

d = cs(x[k-1], 1)

xs2 = np.arange(x[k-1], x[k]+delta, delta)
cs2 = CubicSpline(x[k-1:k+1], y[k-1:k+1], bc_type=((1, d), 'natural'))
plt.plot(xs2, cs2(xs2), color='blue')

plt.ylim([0, height+1])