如何猜测Mathieu方程的数值解

Question

我试图预测马修方程y“+（λ-2qcos（2x））y=0的精确解。我已经能够用数值逼近的方法得到方程的五个特征值，我想找到每个特征值的精确解。如果有人帮忙，我会很高兴的。非常感谢。下面是第四特征值的代码之一

从科学整合导入解决方案 将numpy作为np导入 导入matplotlib.pyplot文件作为plt

马修方程的定义

q = 5.0


def func(x,u,p):
    lambd = p[0] 

    # y'' + (lambda - 2qcos(2x))y = 0 

    ODE = [u[1],-(lambd - 2.0*q*np.cos(2.0*x))*u[0]]
    return np.array(ODE)

边界条件定义（BC）

def bc(ua,ub,p):
    return np.array([ua[0]-1., ua[1], ub[1]])

mathieu方程的一个猜想解

def guess(x):
    return np.cos(4*x-6) 



Nx = 100



x = np.linspace(0, np.pi, Nx)




u = np.zeros((2,x.size))



u[0] = -x                      




res = solve_bvp(func, bc, x, u, p=[16], tol=1e-7)



sol = guess(x)


print res.p[0]


x_plot = np.linspace(0, np.pi, Nx)


u_plot = res.sol(x_plot)[0]



plt.plot(x_plot, u_plot, 'r-', label='u')



plt.plot(x, sol, color = 'black', label='Guess')


plt.legend()


plt.xlabel("x")


plt.ylabel("y")


plt.title("Mathieu's Equation for Guess$= \cos(3x) \quad \lambda_4 = %g$" % res.p )




plt.grid()



plt.show()

[第四特征值图][2]