Gurobi前缀和优化

Question

考虑以下Gurobi模型：

import gurobipy as gb
import numpy as np
N = 100
x = np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
model = gb.Model("ACC")
amp_i_vars = model.addVars(N, vtype=gb.GRB.BINARY, name='ai')
model.setObjective(amp_i_vars.sum(*), gb.GRB.MINIMIZE)
model.addConstrs(gb.quicksum(amp_i_vars[i] for i in range(r+1)) <= x[r] 
                 for r in range(N), "SumConstr")

我们基本上只是试图用尽可能多的位来填充ai，这样到位置r的位之和永远不会大于x[r]。你知道吗

我的问题是GurobiPy在通过约束的方式上是否“聪明”，也就是说，如果它计算一个前缀和ai，或者相反，实际上重新计算每个r<N的和。前者是线性时间，后者是二次时间。我有一个LP，它包含许多这样的和和和约束，我想知道是否最好创建一个单独的变量来存储每个序列的前缀和，以防止GurobiPy重新计算每个约束的和，但是如果它已经足够聪明的话，我不想这样做。你知道吗

Answer 1

你的精确公式有O（N^2）个非零，所以你只能用O（N^2）算法来构建它。您可以避免通过这个更程序化的循环重新创建表达式。你知道吗

import gurobipy as grb
import numpy as np
np.random.seed(10)

N = 5000
x = np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
obj = -np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
model = gb.Model("ACC")

# more interesting objective
amp_i_vars = model.addVars(N, vtype=grb.GRB.BINARY, name='ai', obj=obj)
model.update()
cum = grb.LinExpr()
for i, ai in amp_i_vars.items():
    cum += ai
    model.addConstr(cum <= x[i])
model.optimize()

但是，您可以通过添加表示累积和的平行变量列表，并使用递推公式来建立O（n）非零的等效模型 cum[i]=cum[i-1]+x[i]。这也将产生一个求解速度更快的模型。你知道吗

import gurobipy as grb
import numpy as np
N = 5000
np.random.seed(10)
x = np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
obj = -np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
model = gb.Model("ACC")

# more interesting objective function
amp_i_vars = model.addVars(N, vtype=grb.GRB.BINARY, name='ai', obj=obj)
# since cum_vars are variables, use simple upper bound
cum_vars = model.addVars(N, vtype=grb.GRB.CONTINUOUS, name='cum', ub=x)

prev_cum = 0
for i, (ai, cum) in enumerate(zip(amp_i_vars.values(), cum_vars.values())):
    model.addConstr(cum == prev_cum + ai, name="sum_constr." + str(i))
    prev_cum = cum
model.optimize()

当N=5000时，求解时间为0.5秒，而稠密模型为16秒。你知道吗

Answer 2

在建模层上，gurobipy将而不是“聪明”并应用您描述的替换，因此它将逐个生成约束，每次重新计算部分和。你可以尝试为这些部分和引入辅助变量，但我猜 “哑巴”方法只有在总和真的很大的情况下才会被注意到。你知道吗