寻找给定范围内的函数的根

Question

我有一组函数f_t有几个根（实际上有两个根）。我想找到“第一个”根，使用fsolve进行此操作在大多数情况下都可以正常工作。问题是，当t趋于无穷大时，两个根会聚。（我的函数的一个简单示例是f_t(x) = x^2 - 1/t）。所以t越大，犯的错误就越多。是否有一个预定义的函数，类似于fsolve，我可以告诉它应该只在给定的范围内查找（例如，始终在[0, inf中查找根）。

这个问题本质上与https://mathematica.stackexchange.com/questions/91784/how-to-find-numerically-all-roots-of-a-function-in-a-given-range?noredirect=1&lq=1相同，但是Mathematica有答案，我希望用Python来回答。

注：我现在如何编写自己的算法，但由于这些算法往往比内置算法慢，所以我希望能找到一个与之相同的内置算法。尤其是我读过这篇文章Find root of a function in a given interval

Answer 1

通常，您可以使用^{}：

import numpy as np
from scipy.optimize import root

def func(x, t):
    return x ** 2 - 1. / t

t = 5000

res = root(func, 0.5, args=(t, )).x[0]
print res

这将打印出正的，在本例中是0.0141421356237。

如果要指定范围并确定此间隔内的所有根，可以使用^{}：

from chebpy import chebfun

x = chebfun('x', [-100000, 100000])
t = 5000
f = x ** 2 - 1. / t

rts = f.roots()
print rts

这将同时打印正根和负根，在本例中

[-0.01413648  0.01413648]

如果你只想看到正的范围，你可以改变

x = chebfun('x', [-100000, 100000])

到

x = chebfun('x', [0, 100000])

不过，我不知道如何使用无穷大，但我认为，你可以把一个很高的数字用于实际用途。

Answer 2

一般认为，对于光滑、性能良好的函数，Brent method是保证给出根的最快方法。与列出的其他两个方法一样，您必须提供一个间隔[a，b]，在该间隔内函数是连续的并更改符号。

Scipy实现被记录在案。您提到的函数的示例用例如下所示：

from __future__ import division
import scipy

def func(x,t):
    return(x**2 - 1/t)

t0 = 1
min = 0
max = 100000 # set max to some sufficiently large value

root = scipy.optimize.brentq(func, min, max, args = (t0)) # args just supplies any extra
                                                       # argument for the function that isn't the varied parameter

Answer 3

您可以使用^{}，它接受定义开始间隔的两个参数a和b。但也有一些限制：

• 间隔必须是有限的。无法在[0，inf]中搜索。
• 函数必须在根处翻转符号（f(a)和f(b)必须有相反的符号），因此，例如，您找不到f(x) = abs(x)的根（如果从数学意义上说，它甚至是“根”）。而且，它对a<；-1和b>；1的f(x) = x**2 - 1和间隔[a，b]也不起作用。
• 该方法不是基于梯度的。如果函数的计算非常困难或昂贵，但在其他函数上可能较慢，则这是一个优势。

另一种方法是使用^{}来最小化abs(f(x))。这个函数可以取包含无穷大的bounds。但最小化可能会以函数的非根局部最小值结束。