如何利用这个循环中的置换对称性？

Question

我有一个标量函数f(a,b,c,d)，它具有以下置换对称性

f(a,b,c,d) = f(c,d,a,b) = -f(b,a,d,c) = -f(d,c,b,a)

我用它来填充一个4D数组。下面的代码（使用python/NumPy）起作用：

A = np.zeros((N,N,N,N))
for a in range(N):
    for b in range(N):
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                A[a,b,c,d] = f(a,b,c,d)

但显然我想利用对称性来减少这段代码的执行时间。我试过：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                cd += 1
                if ab >= cd:
                    A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)

这将执行时间缩短了一半。但最后一次我试着对称：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            for d in range(N):
                cd += 1
                if ab >= cd:
                    if ((a >= b) or (c >= d)):
                        A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)
                        A[b,a,d,c] = A[d,c,b,a] = -A[a,b,c,d]

这是可行的，但并没有给我接近另一个因素的两个加速。我不认为这是正确的理由，但不明白为什么。你知道吗

我怎样才能更好地利用这个特殊的排列对称性呢？你知道吗

Answer 1

有趣的问题！你知道吗

对于N=3，应该有81个包含4个元素的组合。 使用循环创建156。你知道吗

看起来复制的主要来源是or中的(a >= b) or (c >= d)，它太过宽容了。(a >= b) and (c >= d)限制性太强了。你知道吗

不过，你可以比较一下a + c >= b + d。要获得几毫秒（如果有的话），可以在第3个循环中将a + c保存为ac：

A = np.zeros((N,N,N,N))
ab = 0
for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd  = 0
        for c in range(N):
            ac = a + c
            for d in range(N):
                cd += 1
                if (ab >= cd and ac >= b+d):
                    A[a,b,c,d] = A[c,d,a,b] = f(a,b,c,d)
                    A[b,a,d,c] = A[d,c,b,a] = -A[a,b,c,d]

在这段代码中，我们创建了112个组合，因此与您的方法相比，重复的数量更少，但可能仍有一些优化。你知道吗

更新

下面是我用来计算创建的组合数的代码：

from itertools import product

N = 3
ab = 0

all_combinations = set(product(range(N), repeat=4))
zeroes = ((x, x, y, y) for x, y in product(range(N), repeat=2))
calculated = list()

for a in range(N):
    for b in range(N):
        ab += 1
        cd = 0
        for c in range(N):
            ac = a + c
            for d in range(N):
                cd += 1
                if (ab >= cd and ac >= b + d) and not (a == b and c == d):
                    calculated.append((a, b, c, d))
                    calculated.append((c, d, a, b))
                    calculated.append((b, a, d, c))
                    calculated.append((d, c, b, a))

missing = all_combinations - set(calculated) - set(zeroes)

if missing:
    print "Some sets weren't calculated :"
    for s in missing:
        print s
else:
    print "All cases were covered"
    print len(calculated)

随着and not (a==b and c==d)，这个数字降到了88。你知道吗