在python或R中，有没有更有效的方法来枚举离散随机变量的每个可能结果的概率？

Question

我用Python理论计算pmf。这是密码。你知道吗

>>> a_coin = np.array([0,1])
>>> three_coins = np.array(np.meshgrid(a_coin,a_coin,a_coin)).T.reshape(-1,3)
>>> heads = np.sum(three_coins, axis = 1)
>>> df = pd.DataFrame({'heads': heads, 'prob': 1/8})
>>> np.array(df.groupby('heads').sum()['prob'])
array([0.125, 0.375, 0.375, 0.125])

这段代码模拟的是3枚硬币的一次投掷。 可能的结果是{0,1,2,3}。 最后一行代码分别计算每个可能结果的概率。你知道吗

我得放10个硬币进去np.网格（一枚硬币，…，一枚硬币）如果我想计算10枚普通硬币的pmf，这看起来既无聊又低效。你知道吗

问题是，在python或R中有没有更有效的方法来实现这一点？你知道吗

Answer 1

下面是如何在R中执行此操作：

> sapply(0:3, choose, n=3)/sum(sapply(0:3, choose, n=3))
[1] 0.125 0.375 0.375 0.125

choose函数给出二项式系数。要将它们转化为概率，只需除以它们的总和：

sapply(0:10, choose, n=10)
 [1]   1  10  45 120 210 252 210 120  45  10   1

sapply(0:10, choose, n=10)/ sum( sapply(0:10, choose, n=10))
 [1] 0.0009765625 0.0097656250 0.0439453125 0.1171875000 0.2050781250 0.2460937500 0.2050781250
 [8] 0.1171875000 0.0439453125 0.0097656250 0.0009765625

看来你不是真的想列举，而是想计算。如果您需要从10个连续的“公平”二项抽取中枚举结果，那么您可以使用combn11次。你知道吗

Answer 2

以下是基于fft的numpy解决方案：

import numpy as np
from scipy import fftpack

def toss(n=10, p=0.5):
    t1 = np.zeros(fftpack.next_fast_len(n+1))
    t1[:2] = 1-p, p
    f1 = fftpack.rfft(t1)
    c1 = f1[1:(len(t1) - 1) // 2 * 2 + 1].view(f'c{2*t1.itemsize}')
    c1 **= n
    f1[::(len(t1) + 1) // 2 * 2 - 1] **= n
    return fftpack.irfft(f1)[:n+1]

例如：

>>> toss(3)
array([0.125, 0.375, 0.375, 0.125])
>>> toss(10)
array([0.00097656, 0.00976562, 0.04394531, 0.1171875 , 0.20507813,
       0.24609375, 0.20507813, 0.1171875 , 0.04394531, 0.00976562,
       0.00097656])

Answer 3

使用Python标准库，您可以得到有理数形式的概率（这是精确的解决方案）

from fractions import Fraction
from math import factorial

n=30
[Fraction(factorial(n), factorial(n - j)) * Fraction(1, factorial(j) * 2 ** n) for j in range(0, n + 1)]

这可以很容易地转换成浮点数，例如

list(map(float, [Fraction(factorial(n), factorial(n - j)) * Fraction(1, factorial(j) * 2 ** n) for j in range(0, n + 1)]))