有没有什么方法可以减少这些埃拉托什尼筛的实现中的内存需求

Question

我使用的是python2.7

在我编写的两个Eratosthenes erat（）和erat2（）的Sieve实现中，erat2（）的好处是，在第二次运行erat2（）时，它会以相对较少的时间给出结果。你知道吗

def erat2(num, isprime = [2]):
    if num > len(isprime) + 2:

        last_original = len(isprime) + 2
        isprime += [num for num in xrange(last_original ,num + 1)]

        for i in xrange(2,num + 1):
            if isprime[i-2]:
                if i <= last_original:
                    j = last_original//i + 1
                else:
                    j = 2
                temp = j * i
                while temp <= num:
                    isprime[temp-2] = 0
                    j += 1
                    temp = j * i

    return filter(lambda x: x != 0, isprime[:num - 1])

def erat(num):
    isprime = [num for num in xrange(2,num + 1)]
    for i in xrange(2,num + 1):
        if isprime[i-2]:
            j = 2
            temp = j * i
            while temp <= num:
                isprime[temp-2] = 0
                j += 1
                temp = j * i

    return filter(lambda x: x != 0, isprime)

import time
def t():
    num = 100000000
    i = 10
    while i < num:
        s = time.time()
        erat2(i)
        x = time.time() - s

        print "%10d %10f" %(i,x),

        s = time.time()
        erat(i)
        y = time.time() - s

        print " %10f" %(y)

        i *= 10

为了证明在第二次运行代码时，结果会快得多，这里给出了一些时间分析。第一列是测试输入。第二列是erat2（）的计时，第三列是erat（）的计时。很明显，在第二次运行中时间减少了7倍。你知道吗

>>> t()
        10   0.000000    0.000000
       100   0.000000    0.000000
      1000   0.000000    0.000000
     10000   0.010000    0.010000
    100000   0.100000    0.110000
   1000000   1.231000    1.410000
  10000000  13.605000   15.081000
>>> t()
        10   0.000000    0.000000
       100   0.000000    0.000000
      1000   0.000000    0.000000
     10000   0.000000    0.020000
    100000   0.020000    0.140000
   1000000   0.170000    1.550000
  10000000   1.770000   15.752000

我面临的问题是，在这个测试输入之后，内存使用率会急剧上升。你知道吗

• 是否可以进行一些优化来减少内存消耗？你知道吗
• 这样增加内存是一个好的实现实践吗？你知道吗

编辑：

我发现对函数erat（）和erat2（）都进行了一些优化，以提高速度。将lambda函数从

lambda x: x != 0

至

lambda x: x

结果相同，但速度稍快。num=10000000时快一秒。你知道吗

编辑2：

使用了vartec和btilly的建议。将erat（）改进为erat3（）。下面是改进的实现和时间检查。还发现在xrange函数中放置表达式会导致性能损失。添加变量以提高性能。你知道吗

def erat3(num):
    ''' Improves Sieve of eratosthenes '''
    #REQUIRES MATH MODULE
    if num < 2:
        return []

    isprime = [num for num in xrange(3,num + 1,2)]
    #temp2's expression placed in xrange function => performance-loss
    temp2 = int(math.sqrt(num)) + 1
    for i in xrange(3, temp2 ,2):
        if isprime[(i-3)/2]:
            j = 3
            temp = j * i
            while temp <= num:
                isprime[(temp-3)/2] = 0
                j += 2
                temp = j * i

    return [2] + filter(lambda x: x, isprime)

erat（）和erat3（）的计时

>>> t()
        10   0.000000    0.000000
       100   0.000000    0.000000
      1000   0.000000    0.000000
     10000   0.010000    0.010000
    100000   0.110000    0.040000
   1000000   1.241000    0.530000
  10000000  14.131000    6.111000

Answer 1

在内存和性能之间进行折衷是很常见的。哪个对你更重要取决于你的申请。你知道吗

在本例中，我建议通过使用位向量（请参见https://pypi.python.org/pypi/BitVector了解详细信息）来减轻这种负担，以便您创建的数据结构更加紧凑。你知道吗

同样在这种情况下，特殊的大小写2和仅存储奇数位将使性能加倍，内存减半，代价是代码复杂度略高。这可能是值得的。你知道吗

Answer 2

可以对isprime数组使用单个位。Python并没有提供一种真正快速的方法来操作位，但是一种简单的方法是使用long。你知道吗

is_prime = (1 << num) - 1

用这个来检查一个数字是否已经过筛选

is_prime & (1 << x)

下面是如何在对第二个函数进行最小更改的情况下应用它

def erat(num):
    isprime = (1 << num) - 1
    for i in xrange(2,num + 1):
        if isprime & (1 << i):
            j = 2
            temp = j * i
            while temp <= num:
                isprime &= (1 << num) - 1 - (1 << temp)
                j += 1
                temp = j * i
    return [i for i in range(num) if isprime&(1 << i)]

在局部变量中存储(1 << num)可能是值得的，这样可以避免反复构建它。正如@btilly所指出的，只需做一点额外的工作，就可以通过跟踪奇数来节省一半的空间。你知道吗