使用位运算[n的底2中的对数]求n=2**x的指数

Question

有没有一种简单的方法只使用位运算从2的幂中提取指数？

编辑：虽然问题最初是关于按位操作的，但如果您想知道“在Python中，在Y=2的情况下，找到X的最快方法是什么，那么这个线程也是一个很好的读物？”**

我目前正在尝试优化一个例程（Rabin-Miller primality test），该例程可以以2**s * d的形式减少偶数N。我可以通过以下方法获得2**s部分：

two_power_s = N & -N

但是我找不到一种方法来通过按位操作提取“s”。我目前正在测试的解决方案没有太多的满足感（它们都非常缓慢）是：

• 使用对数函数
• 操作2**s的二进制表示（即计算尾随零）
• 循环除以2直到结果为1

我使用的是python，但我想这个问题的答案应该是语言不可知的。

Answer 1

简短的回答

就python而言：

• 查找2**x的指数的最快方法是在散列为2幂的字典中查找（参见代码中的“散列查找”）
• 最快的按位方法是名为“展开的按位”的方法。
• 以前的两种方法都有定义良好（但可扩展）的上限。没有硬编码上限的最快方法是“log e”。

初步说明

1. 下面的所有速度测量都是通过timeit.Timer.repeat(testn, cycles)获得的，其中testn被设置为3，并且cycles被脚本自动调整以获得秒范围内的时间（注意：此自动调整机制中存在一个错误，该错误已在2010年2月18日修复）。
2. 并非所有方法都可以缩放，这就是为什么我没有测试2的各种幂的所有函数
3. 我未能使某些建议的方法工作（函数返回错误的结果）。我还没有tiem来执行一个逐步调试会话：我包含了代码（注释），以防有人通过检查发现错误（或者希望自己执行调试）

结果

函数（25）**

hashlookup:          0.13s     100%
lookup:              0.15s     109%
stringcount:         0.29s     220%
unrolled_bitwise:    0.36s     272%
log_e:               0.60s     450%
bitcounter:          0.64s     479%
log_2:               0.69s     515%
ilog:                0.81s     609%
bitwise:             1.10s     821%
olgn:                1.42s    1065%

函数（231）**

hashlookup:          0.11s     100%
unrolled_bitwise:    0.26s     229%
log_e:               0.30s     268%
stringcount:         0.30s     270%
log_2:               0.34s     301%
ilog:                0.41s     363%
bitwise:             0.87s     778%
olgn:                1.02s     912%
bitcounter:          1.42s    1264%

函数（2128）**

hashlookup:     0.01s     100%
stringcount:    0.03s     264%
log_e:          0.04s     315%
log_2:          0.04s     383%
olgn:           0.18s    1585%
bitcounter:     1.41s   12393%

函数（21024）**

log_e:          0.00s     100%
log_2:          0.01s     118%
stringcount:    0.02s     354%
olgn:           0.03s     707%
bitcounter:     1.73s   37695%

代码

import math, sys

def stringcount(v):
    """mac"""    
    return len(bin(v)) - 3

def log_2(v):
    """mac"""    
    return int(round(math.log(v, 2), 0)) # 2**101 generates 100.999999999

def log_e(v):
    """bp on mac"""    
    return int(round(math.log(v)/0.69314718055994529, 0))  # 0.69 == log(2)

def bitcounter(v):
    """John Y on mac"""
    r = 0
    while v > 1 :
        v >>= 1
        r += 1
    return r

def olgn(n) :
    """outis"""
    if n < 1:
        return -1
    low = 0
    high = sys.getsizeof(n)*8 # not the best upper-bound guesstimate, but...
    while True:
        mid = (low+high)//2
        i = n >> mid
        if i == 1:
            return mid
        if i == 0:
            high = mid-1
        else:
            low = mid+1

def hashlookup(v):
    """mac on brone -- limit: v < 2**131"""
#    def prepareTable(max_log2=130) :
#        hash_table = {}
#        for p in range(1, max_log2) :
#            hash_table[2**p] = p
#        return hash_table

    global hash_table
    return hash_table[v] 

def lookup(v):
    """brone -- limit: v < 2**11"""
#    def prepareTable(max_log2=10) :
#        log2s_table=[0]*((1<<max_log2)+1)
#        for i in range(max_log2+1):
#            log2s_table[1<<i]=i
#        return tuple(log2s_table)

    global log2s_table
    return log2s_table[v]

def bitwise(v):
    """Mark Byers -- limit: v < 2**32"""
    b = (0x2, 0xC, 0xF0, 0xFF00, 0xFFFF0000)
    S = (1, 2, 4, 8, 16)
    r = 0
    for i in range(4, -1, -1) :
        if (v & b[i]) :
            v >>= S[i];
            r |= S[i];
    return r

def unrolled_bitwise(v):
    """x4u on Mark Byers -- limit:   v < 2**33"""
    r = 0;
    if v > 0xffff : 
        v >>= 16
        r = 16;
    if v > 0x00ff :
        v >>=  8
        r += 8;
    if v > 0x000f :
        v >>=  4
        r += 4;
    if v > 0x0003 : 
        v >>=  2
        r += 2;
    return r + (v >> 1)

def ilog(v):
    """Gregory Maxwell - (Original code: B. Terriberry) -- limit: v < 2**32"""
    ret = 1
    m = (not not v & 0xFFFF0000) << 4;
    v >>= m;
    ret |= m;
    m = (not not v & 0xFF00) << 3;
    v >>= m;
    ret |= m;
    m = (not not v & 0xF0) << 2;
    v >>= m;
    ret |= m;
    m = (not not v & 0xC) << 1;
    v >>= m;
    ret |= m;
    ret += (not not v & 0x2);
    return ret - 1;


# following table is equal to "return hashlookup.prepareTable()" 
hash_table = {...} # numbers have been cut out to avoid cluttering the post

# following table is equal to "return lookup.prepareTable()" - cached for speed
log2s_table = (...) # numbers have been cut out to avoid cluttering the post

Answer 2

有一个页面有很多这样的技巧和黑客。它是为C编写的，但其中许多也应该在Python中工作（尽管性能显然会有所不同）。你想要的位子是here及以后的位子。

您可以尝试this例如：

register unsigned int r = 0; // result of log2(v) will go here
for (i = 4; i >= 0; i--) // unroll for speed...
{
  if (v & b[i])
  {
    v >>= S[i];
    r |= S[i];
  } 
}

看起来它可以很容易地转换成Python。

Answer 3

“语言不可知论”和对性能的担忧几乎是不相容的概念。

大多数现代处理器都有一条CLZ指令“count leading zero”。在GCC中，您可以使用内置的clz（x）来实现它（如果不是最快的话，也可以为缺少clz的目标生成合理的代码）。请注意，这个CLZ没有为零定义，因此如果在应用程序中很重要，您将需要一个额外的分支来捕获这种情况。

在CELT（http://celt-codec.org）中，我们用于缺少CLZ的编译器的无枝CLZ是由Timothy B.Terriberry编写的：

int ilog(uint32 _v){
  int ret;
  int m;
  ret=!!_v;
  m=!!(_v&0xFFFF0000)<<4;
  _v>>=m;
  ret|=m;
  m=!!(_v&0xFF00)<<3;
  _v>>=m;
  ret|=m;
  m=!!(_v&0xF0)<<2;
  _v>>=m;
  ret|=m;
  m=!!(_v&0xC)<<1;
  _v>>=m;
  ret|=m;
  ret+=!!(_v&0x2);
  return ret;
}

（注释表明，这比分支版本和基于查找表的版本快）

但是，如果性能如此关键，您可能不应该用python实现这部分代码。