将平面拟合到三维中的一组点：scipy.optimize.minimize vs scipy.linalg.lstsq

Question

给定3D中的一组点，一般问题是以以下形式找到平面方程的a, b, c系数：

z = a*x + b*y + c

从而得到的平面是该组点的最佳拟合面。

1. 在this SO answer中，函数scipy.optimize.minimize用于解决此问题。

   它依赖于对系数的初始猜测，并最小化一个误差函数，该函数求出每个点到平面表面的距离之和。

2. 在this code（基于this other SO answer）中，scipy.linalg.lstsq函数用于解决相同的问题（当限制为一阶多项式时）。

   它求解方程z = A*C中的C，其中A是点集的x,y坐标的串联，z是点集的z坐标，C是a,b,c系数。

   与上面方法中的代码不同，这个方法似乎不需要对平面系数进行初始猜测。

由于minimize函数需要一个初始猜测，这意味着它可能收敛到最优解，也可能不收敛到最优解（取决于猜测的好坏）。第二种方法是否有类似的警告，或者它是否会返回始终精确的解？

Answer 1

我想用另一种方法来完成答案，以便找到适合R^3中一组点的最佳平面。 实际上，lstsq方法工作得很好，除非在特定情况下（例如）所有点的x坐标为0（或相同）。在这种情况下，lstsq中使用的矩阵的列不是线性独立的。例如：

A = [[ 0   y_0    1]
     [ 0   y_1    1]
     ...
     [ 0   y_k    1] 
     ...
     [ 0   y_N    1]]

为了避免这个问题，可以直接在点集的中心坐标上使用svd。实际上，svd在lstsq中使用，但不在同一个矩阵中使用。

这是一个python示例，给出了coords数组中各点的坐标：

# barycenter of the points
# compute centered coordinates
G = coords.sum(axis=0) / coords.shape[0]

# run SVD
u, s, vh = np.linalg.svd(coords - G)

# unitary normal vector
u_norm = vh[2, :]

使用这种方法，vh矩阵是一个3x3矩阵，其行中包含正交向量。前两个向量在平面上构成正交基，第三个向量是垂直于平面的单位向量。

如果你真的需要a, b, c参数，你可以从法向量得到它们，因为法向量的坐标是(a, b, c)，假设平面的方程是ax + by + cz + d = 0。