生成数字序列，其第k位数字从左到右的和为10

Question

一个Python编码练习要求生成一个函数f，使得f（k）是第k个数字，使得它从左到右的第k个数字和所有k的10。例如，5, 19, 28, 37是序列中的前几个数字。在

我使用这个函数显式检查数字“n”是否满足属性：

def check(n):

    #even digit length
    if len(str(n)) % 2 == 0:

        #looping over positions and checking if sum is 10
        for i in range(1,int(len(str(n))/2) + 1):

            if int(str(n)[i-1]) + int(str(n)[-i]) != 10:

                return False

    #odd digit length
    else:

        #checking middle digit first
        if int(str(n)[int(len(str(n))/2)])*2 != 10:

            return False

        else:
            #looping over posotions and checking if sum is 10
            for i in range(1,int(len(str(n))/2) + 1):

                if int(str(n)[i-1]) + int(str(n)[-i]) != 10:

                    return False

    return True

然后我循环所有的数字生成序列：

^{pr2}$

然而，这个练习需要一个函数f（i），它在10秒内返回第i个这样的数字。显然，我的方法需要更长的时间，因为它在数字'i'之前生成整个序列来计算它。有没有可能做一个不需要计算所有先前数字的函数？在

Answer 1

测试每一个自然数是一个糟糕的方法。只有一小部分的自然数具有这种性质，并且当我们得到更大的数时，分数会迅速减少。在我的机器上，下面的简单Python程序花了3秒多的时间找到第1000个数字（2195198），用了26秒找到第2000个数字（15519559）。在

# Slow algorithm, only shown for illustration purposes

# '1': '9', '2': '8', etc.
compl = {str(i): str(10-i) for i in range(1, 10)}

def is_good(n):
    # Does n have the property
    s = str(n)
    for i in range((len(s)+1)//2):
        if s[i] != compl.get(s[-i-1]):
            return False
    return True

# How many numbers to find before stopping
ct = 2 * 10**3

n = 5
while True:
    if is_good(n):
        ct -= 1
        if not ct:
            print(n)
            break
    n += 1

显然，需要一个更有效的算法。在

我们可以在数字字符串的长度上循环，在这个长度内，按照数字顺序生成带有属性的数字。伪码算法示意图：

^{pr2}$

现在，请注意，每个长度的数字计数很容易计算：

Length    First    Last     Count
1         5        5        1
2         19       91       9
3         159      951      9
4         1199     9911     81
5         11599    99511    81

通常，如果左半部分有n个数字，则计数为9**n。在

因此，我们可以简单地迭代数字计数，计算出存在多少个解，而不必计算它们，直到我们到达包含所需答案的队列为止。然后，计算出我们想要的数字应该相对简单，同样，不需要迭代所有的可能性。在

上面的草图应该会产生一些想法。一旦我写好了要遵循的代码。在

代码：

def find_nth_number(n):
    # First, skip cohorts until we reach the one with the answer
    digits = 1
    while True:
        half_len = digits // 2
        cohort_size = 9 ** half_len
        if cohort_size >= n:
            break
        n -= cohort_size
        digits += 1

    # Next, find correct number within cohort

    # Convert n to base 9, reversed
    base9 = []
    # Adjust n so first number is zero
    n -= 1
    while n:
        n, r = divmod(n, 9)
        base9.append(r)
    # Add zeros to get correct length
    base9.extend([0] * (half_len - len(base9)))
    # Construct number
    left = [i+1 for i in base9[::-1]]
    mid = [5] * (digits % 2)
    right = [9-i for i in base9]
    return ''.join(str(n) for n in left + mid + right)

n = 2 * 10**3

print(find_nth_number(n))

Answer 2

这是一个利用模式的函数，其中相邻的10次方之间的“有效”数是9的幂次方。这使我们可以跳过很多数字。在

def get_starting_point(k):
    i = 0
    while True:
        power = (i + 1) // 2
        start = 10 ** i
        subtract = 9 ** power
        if k >= subtract:
            k -= subtract
        else:
            break
        i += 1
    return k, start

我把这个和你定义的方法结合起来。如果我们对第45个号码感兴趣， 这说明搜索从1000开始，我们只需要找到1000之后的第26个“有效”数字。保证不到1万。当然，这种限制在规模上越来越差，您可能希望使用本文中其他社区成员建议的技术。在

^{pr2}$

输出：

new_k: 26
start at: 1000
3827

第45个号码好像是3827。在