计算两个随机人在同一组的概率？

Question

在我的数据集中，有N人，每个人被分成一个3组(groups = {A, B, C})。我想找出两个随机人，n_1和{}属于同一组的概率。在

我有每一组的数据，以及有多少人属于他们。重要的是，每个小组的规模都不一样。

import pandas as pd
import numpy as np
import math 

data = {
    "Group": ['A', 'B', 'C'],
    "Count": [20, 10, 5],
}

df = pd.DataFrame(data)

^{pr2}$

我想我知道如何得到样本空间，S，但我不确定如何得到分子。在

def nCk(n,k):
  f = math.factorial
  return f(n) / f(k) / f(n-k)

n = sum(df['Count'])
k = 2
s = nCk(n, k)

Answer 1

我的离散数学技能有点生疏，请随意纠正我。你让N人分成不同大小的一组s_1, ..., s_n，这样N = s_1 + ... + s_n。在

1. 一个随机人属于i的概率是s_i / N
2. 第二个人加入i的几率是(s_i - 1) / (N - 1)
3. 两者都在i组的几率是s_i / N * (s_i - 1) / (N - 1)
4. 它们在任何一个组中共同出现的概率是所有组中3个概率的总和。在

代码：

import numpy as np

s = df['Count'].values
n = s.sum()
prob = np.sum(s/n * (s-1)/(n-1)) # 0.4117647058823529

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我们可以将这个解决方案推广到“所有人都在同一组中的概率”：

^{pr2}$

当k > s.max()（本例中为20）时，答案为0，因为您无法将它们全部放入一个组中。当k > s.sum()（本例中为35）时，结果是nan。在

Answer 2

我用超几何分布来回答你的问题，超几何分布是一个离散的概率分布，它描述了n次绘图中k次成功（绘制的对象具有特定特征的随机绘图）的概率，没有替换，从一个大小为N的有限总体中，精确地包含具有该特征的K个对象，其中每次绘制都是成功或失败。相比之下，二项式分布描述了n次取款中k次成功的概率。 所以总概率应该是两者都属于A的概率+都属于B的概率+都属于C的概率。 这意味着

P(A) = (nCk(20,2) * nCk(15,0))/nCk(35,2)
P(B) = (nCk(10,2) * nCk(25,0))/nCk(35,2)
P(C) = (nCk(5,2) * nCk(5,0)) / nCk(35,2)

在规范术语中：

^{pr2}$

输出：

0.41176470588235287