检查正定义或正半定义

Answer 1

如果使用正定（PD）矩阵，Cholesky分解是一个很好的选择。

但是，它在正半定（PSD）矩阵上抛出以下错误， 说

A = np.zeros((3,3)) // the all-zero matrix is a PSD matrix
np.linalg.cholesky(A)
LinAlgError: Matrix is not positive definite -
Cholesky decomposition cannot be computed

对于PSD矩阵，可以使用scipy/numpy的eigh（）检查所有特征值是否为非负。

>> E,V = scipy.linalg.eigh(np.zeros((3,3)))
>> E
array([ 0.,  0.,  0.])

但是，您很可能会遇到数值稳定性问题。 要克服这些问题，可以使用以下函数。

def isPSD(A, tol=1e-8):
  E = np.linalg.eigvalsh(A)
  return np.all(E > -tol)

它在矩阵上返回True，该矩阵在给定公差范围内近似为PSD。

Answer 2

我假设你已经知道你的矩阵是对称的。

一个很好的确定性测试（实际上是标准测试！）试图计算它的Cholesky因子分解。如果你的矩阵是正定的，它就成功了。

这是最直接的方法，因为它需要O（n^3）运算（用一个小常数），而且您至少需要n个矩阵向量乘法来“直接”测试。

Answer 3

如果A非常大，检查对称矩阵A的整个特征值是否为非负是很耗时的，而模块scipy.sparse.linalg.arpack提供了一个很好的解决方案，因为可以通过指定参数自定义返回的特征值。（有关详细信息，请参见^{}）

我们知道如果A谱的两端都是非负的，那么剩余的特征值也必须是非负的。所以我们可以这样做：

from scipy.sparse.linalg import arpack
def isPSD(A, tol = 1e-8):
    vals, vecs = arpack.eigsh(A, k = 2, which = 'BE') # return the ends of spectrum of A
    return np.all(vals > -tol)

因此，我们只需要计算两个特征值来检查PSD，我认为这对于大型A非常有用