该算法是否在单位圆盘上生成均匀分布（确定性RNG）？

Question

考虑以下算法：

r = 2
while r >= 1:
    x = -1 + 2 * random.random()
    y = -1 + 2 * random.random()
    r = x * x + y * y

现在如果我的研究是正确的，python的random模块使用系统时间作为初始种子（让我们把它看作是均匀分布的），然后使用mersenne twister algorithm生成一个确定的数字序列，其中对{}的每次调用都将产生一个介于0（包括）和1（排除）之间的数字。在

当算法终止时，点(x,y)应该在单位圆盘上的某个地方。由于浮点算法的局限性，我们当然不能得到单位圆盘内的每一个点，但是在我们可以得到的所有点中，这个算法会导致均匀分布吗？

或者，等价地，这个算法是否会以相同的概率返回每个可以获得的点？

我考虑过把这个贴到数学.se，但由于这个问题与python和算法密切相关，所以我假设StackOverflow更合适。在

现在我的直觉告诉我分布是不均匀的。考虑一个种子s1，对于这个种子，最初生成的点不在单位圆内，算法将确定地生成一个新的点(x,y)（让我们假设这个点在单位圆内）并终止。现在我假设有一个种子s2，它最初生成的点等于s1生成的点(x,y)。在

显然，我可以使用至少2个不同的种子生成(x,y)，其中一个实际上首先在单位圆外生成了一个不同的点。现在，由于单位圆盘不包含[-1,1) x [-1,1)面积的一半，我将得出结论，不是每个点都由相同数量的种子生成，这意味着对于均匀分布的种子，返回的点不是均匀选择的。在

为了防止这成为一个XY question，请考虑以上段落是我研究的一部分，而不是这个问题的中心点。实际的问题是用斜体印刷的问题。在

Answer 1

你的问题的答案是否是。该算法将在单位圆内提供均匀分布。原因是您的一些样本将超出圆圈。为了获得数学上正确的可预测均匀分布，必须使用极坐标，对于此类坐标，代码示例应执行以下操作：

def get_random_point_in_unit_circle():
    theta = random.random() * ( 2 * math.pi )
    r = math.sqrt(random.random())
    x = r * math.cos( theta )
    y = r * math.sin( theta )
    return (x, y)

编辑：

所以我的回答并不完全正确，谢谢你指出这一点。在概率方面，你的函数提供均匀分布，因为在区域内获得样本的概率是恒定的。拒绝解决方案的缺点是不可预测性。在