在不知道导数的情况下用Python解微分方程

Question

我试图用Python解决一阶ODE：

其中Gamma和u是方阵。 我并不是一直都明确知道u（t），但我确实知道它是在离散的时间步长上从前面的计算中得到的。在

我在网上找到的Python解算器的每个例子（例如this one表示scipy.integrate.odeint和scipy.integrate.ode）都知道导数的表达式是时间的函数。在

有没有办法在不知道导数的解析表达式的情况下调用这些（或其他微分方程解算器）？在

现在，我已经编写了我自己的Runge-Kutta解算器，并用numba进行了jit处理。在

Answer 1

您可以使用任何SciPy interpolation methods，例如interp1d，根据离散数据创建一个可调用函数，并将其传递给odeint。三次样条插值

f = interp1d(x, y, kind='cubic')

应该足够好了。在

Answer 2

Is there a way to call these (or other differential equation solvers) without knowing an analytic expression for the derivative?

是的，你提到的所有解算器（或大多数其他解算器）都不需要导数的解析表达式。相反，它们调用您提供的函数，该函数必须计算给定时间和状态的导数。因此，您的代码大致如下：

def my_derivative(time,flat_Gamma):
    Gamma = flat_Gamma.reshape(dim_1,dim_2)
    u = get_u_from_time(time)
    dGamma_dt = u.dot(Gamma)
    return dGamma_dt.flatten()

from scipy.integrate import ode
my_integrator = ode(my_derivative)
…

您的困难在于，您必须确保get_u_from_time在每次调用它时都提供适当的结果。可能最健壮和最简单的解决方案是使用插值（参见the other answer）。在

您也可以尝试将集成步骤与您拥有的数据相匹配，但至少对于scipy.integrate.odeint和{}来说，这将是非常繁琐的，因为所有的集成器都使用内部步骤，因此不太方便。例如，the fifth-order Dormand–Prince method (DoPri5)使用1/5、3/10、4/5、8/9和1的内部步骤。这意味着，如果您有u的时间等距数据，则每个积分步骤需要90个数据点（因为1/90是内部步骤的最大公约数）。唯一可以使这一点远程可行的积分器是来自^{}的Bogacki–Shampine integrator（RK23），其内部步骤为1/2、3/4和1。在