如何用Python数值求解两个方程？

Question

也许这是向您展示代码并稍后再解释的最简单方法：

sigma_aussen = 7.1
roh_aussen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

def BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):


    gw2, sig_innen, ref_innen, sig_din, ref_din, p2, sig, ref =var('gw2 sig_innen ref_innen sig_din ref_din p2 sig ref')

    sigma = asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen))
    roh = asin(1/n_brech*sin(roh_aussen))
    gw = (sigma+roh)/2
    sigma_din =  (roh-sigma)/2
    roh_din =  (sigma-roh)/2


    gw2 = (asin(1/n_brech*sin(sig))+asin(1/n_brech*sin(ref))/2)
    print("gw2: ", gw2)

    sig_innen = asin(1/n_brech*sin(sig))
    ref_innen = asin(1/n_brech*sin(ref))
    print ("sig_innen: ", sig_innen)
    print ("ref_innen: ", ref_innen)


    sig_din = gw2-sig_innen
    ref_din = gw2-ref_innen
    print ("ref_din: ", ref_din)

    p = lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din)-sin(roh_din)))
    print ("p: ",p)
    p2 = lambda_rek/n_brech*(sin(sig_din)-sin(ref_din))
    print ("p2: ", p2)

    Winkel=nsolve([gw-gw2, p-p2],[sig,ref], [0,0])
    return Winkel    

Winkel = BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek)

这里我的解释是：BraggMatch是一种以弧度返回两个角度的方法。在

这两个方程是gw-gw2=0和p-p2=0。gw和p是两个已知的变量。只有两个变量是未知的，sig和ref。这两个未知变量应该通过数值求解并在BraggMatch方法中返回。在

用Maple软件求解这两个方程是没有问题的。也许它会有所帮助，向您展示解决方案：sig=0.064和ref=0.734

这是错误：“ValueError:无法在给定的容差内找到根。（东经16851-16851） 尝试另一个起点或调整参数。“

你帮我解决了这个问题，让我非常感激。这是我硕士论文的核心。在

---

首先，谢谢你的快速回复。在

但我不认为这是正确的方法。你说得对，我忘了n_brech=1.5。 今天，我发现，gw-gw2可以解决分析问题。所以我只需要p-p2的解决方案。 ref和{}的解可以在π和-PI之间，通过sigma_aussen, roh_aussen, lambda_rek的变化，这就是我开始寻找0的解的原因。在

这里是我的新代码：

^{pr2}$

如果你擅长Maple，在我上传的图片中，你可以看到我在Python中必须解决的问题，因为在这里我可以用VPython可视化它。Maple代码以度为单位返回角度，这没有问题。

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现在我试着写代码，就像我在Maple中做的那样。我得到一些现在的错误：

ZeroDivisionError

代码如下：

n_brech = 1.5
sigma_aussen = 7.1
roh_aussen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

def BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):

    sig, ref =var('sig ref')

    def sigma(n_brech, sigma_aussen):
        return (asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen)))
    def roh(n_brech, roh_aussen):
        return (asin(1/n_brech*sin(roh_aussen)))
    def gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen):
        return ((sigma(n_brech, sigma_aussen)+roh(n_brech, roh_aussen))/2)
    def sigma_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen):
        return (gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)-sigma(n_brech, sigma_aussen))
    def roh_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen):
        return (gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)-roh(n_brech, roh_aussen))
    def p(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen, lambda_schreib):
        return (lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen))-sin(roh_din(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)))))

    return (nsolve([gw(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen)-gw(n_brech, sig, ref), p(n_brech, sigma_aussen, roh_aussen, lambda_rek)-p(n_brech, sig, ref, lambda_schreib)], [sig, ref], [0, 0]))

Winkel=BraggMatch(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek)

我不明白为什么它不起作用。。。在

Answer 1

这个问题也可以用数值方法解决，例如用scipy.optimize.minimize()：

from scipy.optimize import minimize;
from math import radians, asin, sin;

sigma_aussen = 7.1
roh_aussen = 38
lambda_schreib = 532*10**-9
lambda_rek = 432*10**-9
sigma_aussen=radians(sigma_aussen)
roh_aussen=radians(roh_aussen)

n_brech = 1

def BraggMatch(sig,ref,sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek):
    sigma = asin(1/n_brech*sin(sigma_aussen))
    roh = asin(1/n_brech*sin(roh_aussen))
    gw = (sigma+roh)/2
    sigma_din =  (roh-sigma)/2
    roh_din =  (sigma-roh)/2
    gw2 = (asin(1/n_brech*sin(sig))+asin(1/n_brech*sin(ref))/2)
    sig_innen = asin(1/n_brech*sin(sig))
    ref_innen = asin(1/n_brech*sin(ref))
    sig_din = gw2-sig_innen
    ref_din = gw2-ref_innen
    p = lambda_schreib/(n_brech*(sin(sigma_din)-sin(roh_din)))
    p2 = lambda_rek/n_brech*(sin(sig_din)-sin(ref_din))
    return (gw-gw2)**2 + (p-p2)**2  

def f(x,sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_re):
    return BraggMatch(x[0],x[1],sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_re)

print(minimize(f,[0,0],args=(sigma_aussen, roh_aussen, n_brech, lambda_schreib, lambda_rek)).x)

但是我不得不猜测n_brech = 1，因为它的值没有在问题中显示出来。scipy.optimize.minimize()确实找到了一个解决方案（[ 0.3148574 0.1574287]），但它与Maple发现的不同。在

如果不知道方程的来源和它们的意图，我就不能确定它们是否正确地表达出来。不过，我可以检查多种解决方案。从[0.064, 0.734]开始优化，而不是在[0, 0]开始优化，得到的结果是[ 0.0340574 0.7190287]。在

因此，这些方程似乎有多个解，并且（至少对于n_brech的值），如果从不同的点开始优化，则会找到不同的解。在

（进一步编辑）

为了研究多种解决方案，我使用了以下代码：

^{pr2}$

。。。产生以下输出：

。。。从中可以看出，在感兴趣的范围内，沿曲线存在许多局部极小值。因此，不同的方法（和不同的软件）可以找到不同的最小值，对此我并不感到惊讶。在