Durandkerner实现没有

Question

Durand-Kerner算法（here）的这种实现有什么问题？在

def durand_kerner(poly, start=complex(.4, .9), epsilon=10**-16):#float('-inf')):
    roots = []
    for e in xrange(poly.degree):
        roots.append(start ** e)
    while True:
        new = []
        for i, r in enumerate(roots):
            new_r = r - (poly(r))/(reduce(operator.mul, [(r - r_1) for j, r_1 in enumerate(roots) if i != j]))
            new.append(new_r)
        if all(n == roots[i] or abs(n - roots[i]) < epsilon for i, n in enumerate(new)):
            return new
        roots = new

当我尝试它时，我必须用keyboardInterrupt来停止它，因为它不会停止！
poly是{}库的多项式实例。在

提前谢谢你， 魔方

编辑：使用numpy多项式需要9次迭代：

^{pr2}$

使用pypol多项式它永远不会结束（这可能是pypol中的一个bug）：

In [3]: roots.d2(poly1d([1, -3, 3, -5]))
^C---------------------------------------------------------------------------
KeyboardInterrupt

但我找不到虫子！！在

EDIT2：比较__call__方法与Martin's Poly：

>>> p = Poly(-5, 3, -3, 1)
>>> from pypol import poly1d
>>> p2 = poly1d([1, -3, 3, -5])

>>> for i in xrange(-100000, 100000):
    assert p(i) == p2(i)


>>>
>>> for i in xrange(-10000, 10000):
    assert p(complex(1, i)) == p2(complex(1, i))


>>> for i in xrange(-10000, 10000):
    assert p(complex(i, i)) == p2(complex(i, i))


>>> 

EDIT3：如果根不是复数，pypol可以正常工作：

In [1]: p = pypol.funcs.from_roots([4, -2, 443, -11212])

In [2]: durand_kerner(p)
Out[2]: [(4+0j), (443+0j), (-2+0j), (-11212+0j)]

所以它不只是在根是复数的时候才起作用！在

EDIT4：我为numpy多项式编写了一个稍有不同的实现，并且发现在一次迭代之后，（Wikipedia多项式的）根是不同的：

In [4]: d1(numpyp.poly1d([1, -3, 3, -5]))
Out[4]: 
[(0.98096328371966801+1.3474626910848715j),
 (-0.3352519326012724-0.64406860772816388j),
 (2.3542886488816044-0.70339408335670761j)]

In [5]: d2(pypol.poly1d([1, -3, 3, -5]))
Out[5]: 
[(0.9809632837196679+1.3474626910848717j),
 (-0.33525193260127306-0.64406860772816377j),
 (2.3542886488816048-0.70339408335670772j)] ## here

EDIT5：嘿！如果我将if all(n == roots[i] ... )改为if all(str(n) == str(roots[i]) ... )它就结束并返回正确的根！！！在

In [9]: p = pypol.poly1d([1, -3, 3, -5])

In [10]: roots.durand_kerner(p)
Out[10]: 
[(0.20629947401590029+1.3747296369986026j),
 (0.20629947401590013-1.3747296369986026j),
 (2.5874010519681994+0j)]

但问题是：为什么它能用不同的复数比较呢？？在

更新
现在它起作用了，我做了一些测试：

In [1]: p = pypol.poly1d([1, -3, 3, -1])

In [2]: p
Out[2]: + x^3 - 3x^2 + 3x - 1

In [3]: pypol.roots.cubic(p)
Out[3]: (1.0, 1.0, 1.0)

In [4]: durand_kerner(p)
Out[4]: 
((1+0j),
 (1.0000002484566535-2.708692281244913e-17j),
 (0.99999975147728026+2.9792265510301965e-17j))

In [5]: q = x ** 3 - 1

In [6]: q
Out[6]: + x^3 - 1

In [7]: pypol.roots.cubic(q)
Out[7]: (1.0, (-0.5+0.8660254037844386j), (-0.5-0.8660254037844386j))

In [8]: durand_kerner(q)
Out[8]: ((1+0j), (-0.5-0.8660254037844386j), (-0.5+0.8660254037844386j))

Answer 1

你的算法看起来很好，对我来说在维基百科中的例子是可行的

import operator
class Poly:
    def __init__(self, *koeff):
        self.koeff = koeff
        self.degree = len(koeff)-1

    def __call__(self, val):
        res = 0
        x = 1
        for k in self.koeff:
            res += x*k
            x *= val
        return res

def durand_kerner(poly, start=complex(.4, .9), epsilon=10**-16):#float('-inf')):
    roots = []
    for e in xrange(poly.degree):
        roots.append(start ** e)
    while True:
        new = []
        for i, r in enumerate(roots):
            new_r = r - (poly(r))/(reduce(operator.mul, [(r - r_1) 
                                     for j, r_1 in enumerate(roots) if i != j]))
            new.append(new_r)
        if all((n == roots[i] or abs(n - roots[i]) < epsilon) for i, n in enumerate(new)):
            return new
        roots = new

print durand_kerner(Poly(-5,3,-3,1))

给予

^{pr2}$

Answer 2

关于您的“edit5”：发生这种情况是因为str（）没有将数字格式化为完全精度。在

>>> print str((2.5874010519681994+8.636168555094445e-78j))
(2.58740105197+8.63616855509e-78j)
>>> print repr((2.5874010519681994+8.636168555094445e-78j))
(2.5874010519681994+8.636168555094445e-78j)
>>>

所以不要那样做。在

在任何情况下，代码中的相等性测试：

^{pr2}$

是多余的；如果n == roots[i]，那么{}将为零，所以您可以

if all(abs(n - roots[i]) < epsilon for i, n in enumerate(new)):

再花点功夫找出epsilon的默认值是什么；正如我在一篇评论中指出的，求解{}会收敛，但您的默认epsilon太小，无法永远停止循环。1.12e-16看起来是默认epsilon更好的选择。在

为了好玩，试试不适合的Poly（[-1，3，-3，1]）。。。三个根都等于（1+0j）。。。它需要600多次迭代，最后10次左右迭代中的错误惊人地跳来跳去，直到它在左视场中从很远的地方得到一个合理的解决方案。在