创建一个分段光滑函数，它保留d的局部积分

Question

我是社会学博士生，正在写论文。在一些数据分析的过程中，我遇到了以下问题。在

我有一张一系列年来某些变量的测量值表。这些值很重要，“在给定的一年里有多少特定类型的事件”？下面是一个示例：

year    var
1983    22
1984    55
1985    34
1986    29
1987    15
1988    20
1989    41

例如，1984年全年共发生55起此类事件。在

在[1983，1990]中，在实数域上表示这些数据的一种方法是使用分段函数f：

^{pr2}$

此函数用于绘制一系列宽度为1的水平线，映射变量的条形图。每一行下面的面积等于当年变量的值。但是，对于这个变量，我知道在每年，这个比率并不是全年不变的。换言之，12月31日，事件不会突然从一个年利率跳到另一个利率，因为（不连续）函数f似乎存在。我不知道利率到底是怎么变化的，但我想假设一年一年平稳过渡。在

所以，我想要的是一个函数g，它在域[1983，1990]上既连续又光滑（连续可微），，它还保留了年度总数。也就是说，从1984年到1985年，g的定积分必须仍然等于55，其他年份也一样。（所以，例如，一个n次多项式，它击中了所有的条的中点是行不通的。）另外，我希望g是一个分段函数，所有的部分都相对简单——二次函数最好，或者是正弦波。在

总而言之：我希望g是一系列在每年定义的抛物线，它们从一个平滑地过渡到另一个抛物线（在年边界上g'(x)的左右极限应该相等），并且每个抛物线下的面积等于我上面数据给出的总和。在

I've drawn a crude version of what I want here.漫画使用的数据与上述相同，黑色曲线表示我希望的函数g。在右翼，情况变得特别糟糕，尤其是1988年和1989年。但它只是想展示一张我想结束的照片。在

谢谢你的帮助，或者你认为对我有帮助的其他资源！在

PS我已经看了this paper，它是连接在this question.内部的，我同意作者的观点（见第4节），如果我可以用矩阵A来代替我的数据，我可以很简单地生成某种光滑函数，那将是很好的，但他们没有说明如何获得A。只是想一想。再次感谢！在

PPS我需要的是一个可靠的生成g的方法，给定上面的任何数据表。实际上我有成百上千种这样的年度统计数据，所以我需要一个通用的解决方案。在

Answer 1

你需要曲线的积分来通过一组特定的点，由累计总数定义，所以。。。在

在累计总数之间插值得到一条积分曲线，然后 取它的导数，得到你要找的函数。在

因为你希望你的函数是“连续和光滑的”，即C1连续，你插值的积分曲线必须是C2连续的，也就是说，它必须有连续的一阶和二阶导数。您可以使用多项式插值、sinc插值、充分次数的样条曲线等

使用“自然”三次样条插值积分将给你一个分段二次导数，似乎满足你的所有要求。在

这里有一个关于自然三次样条函数的很好的描述：http://mathworld.wolfram.com/CubicSpline.html